Question

（13分）如圖，某隧道設(shè)計為雙向四車道，車道總寬20m，要求通行車輛限高5m，隧道全長2.5km，隧道的兩側(cè)是與地面垂直的墻，高度為3米，隧道上部拱線近似地看成半個橢圓。

（1）若最大拱高h為6 m，則隧道設(shè)計的拱寬是多少？

（2）若要使隧道上方半橢圓部分的土方工程 量最小，則應(yīng)如何設(shè)計拱高h和拱寬？（已知：橢圓+=1的面積公式為S=，柱體體積為底面積乘以高。）

（3）為了使隧道內(nèi)部美觀，要求在拱線上找兩個點M、N，使它們所在位置的高度恰好是限高5m，現(xiàn)以M、N以及橢圓的左、右頂點為支點，用合金鋼板把隧道拱線部分連接封閉，形成一個梯形，若l=30m，梯形兩腰所在側(cè)面單位面積的鋼板造價是梯形頂部單位面積鋼板造價的倍，試確定M、N的位置以及的值，使總造價最少。

 

Answer 1

【答案】

（1）m；（2）當拱高為(+3)m、拱寬為20m時，隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小;（3）,.

【解析】

試題分析：（1）先建立直角坐標系，找到對應(yīng)橢圓方程再把b=h-3=3與點P坐標代入橢圓方程，即可求出隧道設(shè)計的拱寬l是多少；

（2）轉(zhuǎn)化為求半橢圓的面積最小值問題，對橢圓方程用基本不等式即可求出對應(yīng)的半橢圓面積以及滿足要求的拱高h和拱寬l．

（3）先求出總造價的表達式，再利用導(dǎo)函數(shù)研究其最值即可．

試題解析：解：（1）如下圖建立直角坐標系，則點P（10，2），橢圓方程為+=1，將b=h－3=3與點P坐標代入橢圓方程，得a=，l=2a=，隧道的拱寬約為m。 5分

（2）要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，由柱體的體積公式可知：只需半橢

圓的面積最小即可。

由橢圓方程+=1，得+=1。因為+≥，即ab≥40，…8分

所以半橢圓面積S=≥。當S取最小值時，有==，得a=10，b=，此時l=2a=20，  h=b+3=+3，故當拱高為(+3)m、拱寬為20m時，隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小                              13分

（3）設(shè)，

設(shè)=+·

=2（10），則

令得或17（舍）∴時，取最小值，此時,代入橢圓方程得   ∴…           13分

考點：1.圓與圓錐曲線的綜合；2.利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．