已知f(x)=x3+ax2-x+2,g(x)=xlnx.
(1)如果函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)在(1)的條件下,求函數(shù)y=f(x)的圖象過點P(1,1)的切線方程;
(3)對一切的x∈(0,+∞),f'(x)+2≥2g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】分析:(1)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可知-,1是導(dǎo)函數(shù)所對應(yīng)方程的兩個根,從而可求出a的值;
(2)設(shè)切點坐標(biāo)是M(x,y)(x≠1),然后根據(jù)在該點處的導(dǎo)數(shù)等于兩點的斜率建立等式關(guān)系,從而求出x的值,即可求出切線方程;
(3)3x2+2ax-1+2≥2xlnx在x∈(0,+∞)上恒成立將a分離可得a≥lnx--,設(shè)h(x)=lnx--,利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的最大值,可求出a的取值范圍.
解答:解:(1)f'(x)=3x2+2ax-1
由題意3x2+2ax-1>0的解集是即3x2+2ax-1=0的兩根分別是-,1
將x=1或-代入方程3x2+2ax-1=0得a=-1,
∴f(x)=x3-x2-x+2
(2)設(shè)切點坐標(biāo)是M(x,y)(x≠1).有=3x2-2x-1
將y=x3-x2-x+2代入上式整理得
得x=1或x=0.
函數(shù)f(x)=x3-x2-x+2的圖象過點P(1,1)的切線方程為x+y-2=0或y=1.
(3)由題意:3x2+2ax-1+2≥2xlnx在x∈(0,+∞)上恒成立
即3x2+2ax+1≥2xlnx可得a≥lnx--
設(shè)h(x)=lnx--,則h′(x)=-
令h′(x)=0,得x=1,x=-(舍),當(dāng)0<x<1時,h′(x)>0;當(dāng)x>1時,h′(x)<0
∴當(dāng)x=1時,h(x)取得最大值,h(x)max=-2,.
∴a≥-2,即a的取值范圍是[-2,+∞).
點評:本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某點切線方程,同時考查了轉(zhuǎn)化的思想和計算能力,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
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(1)如果函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(
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,1),求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),對任意x∈(0,+∞),不等式f′(x)≥2xlnx-1恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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