Question

設(shè)集合W由滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件的數(shù)列構(gòu)成：

①

②存在實(shí)數(shù)M，使（n為正整數(shù)）

   （I）在只有5項(xiàng)的有限數(shù)列

        ；試判斷數(shù)列是否為集合W的元素；

   （II）設(shè)是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，證明數(shù)列；并寫(xiě)出M的取值范圍；

  （III）設(shè)數(shù)列且對(duì)滿(mǎn)足條件的M的最小值M₀，都有.

        求證：數(shù)列單調(diào)遞增.

Answer 1

（I）不是集合W中的元素，是集合W中的元素.（II），且（III）見(jiàn)解析

解析:

（I）對(duì)于數(shù)列，

取顯然不滿(mǎn)足集合W的條件，①

故不是集合W中的元素，           …………2分

對(duì)于數(shù)列，當(dāng)時(shí)，

不僅有

而且有，

顯然滿(mǎn)足集合W的條件①②，

故是集合W中的元素.           …………4分

   （II）是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，

設(shè)其公比為q>0，

整理得

                          …………7分

對(duì)于

且

故，且             …………9分

   （III）證明：（反證）若數(shù)列非單調(diào)遞增，則一定存在正整數(shù)k，

使，易證于任意的，都有，證明如下：

假設(shè)

當(dāng)n=m+1時(shí)，由

而

所以

所以，對(duì)于任意的

顯然這k項(xiàng)中有一定存在一個(gè)最大值，不妨記為；

所以與這題矛盾.

所以假設(shè)不成立， 故命題得證.          …………14分