Question

15、已知對一切x∈R，都有f（x）=f（2-x），且方程f（x）=0有5個(gè)不同的實(shí)根，求這五個(gè)根的和．

Answer 1

分析：根據(jù)f（x）=f（2-x）可表示出4個(gè)根，再由f（1+x）=f（1-x）得到一個(gè)根為1，進(jìn)而得到答案．

解答：解：由f（x）=f（2-x） 可知 f（1+x）=f（1-x）  函數(shù)f（x）關(guān)于x=1對稱
又∵函數(shù)f（x）由5個(gè)根，則必有f（1）=0
f（x）=f（2-x）所以很顯然f（x）=0時(shí)必然有根2-x．
則5個(gè)根必然是x₁，2-x₁，x₂，2-x₂，1．
相加答案就是5．

點(diǎn)評：本題主要考查抽象函數(shù)對稱性的問題．這種題屬于高考范圍內(nèi)的，關(guān)鍵是抓住方法，對形式進(jìn)行變化就行了，f（a+x）=f（a-x）都可以變換成f（x）=f（2a-x）是一種典型的軸對稱函數(shù)的表示方法，對稱軸是a．他的特點(diǎn)就是無論f（x）為幾，所有的根都對稱于x=a 一般根都是偶數(shù)個(gè)，個(gè)數(shù)乘以a就行了，奇數(shù)個(gè)的原因是因?yàn)槠渲幸粋�(gè)根是a，2個(gè)相等實(shí)根導(dǎo)致的…
f（a+x）=-f（a-x）是中心對稱函數(shù)對稱中心（a，f（a））．
而f（x+a）=f（x-a）是周期函數(shù)的表示方法，周期是2a…