Question

曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F₁（-1，0）、F₂（1，0）的距離的積等于常數(shù)a²（a＞1）的點(diǎn)的軌跡．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；
②曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；
③若點(diǎn)P在曲線C上，則△F₁PF₂的面積不大于

1

2

a2；
④若點(diǎn)P在曲線C上，則P到原點(diǎn)的距離不小于

a2-1

．
其中正確命題序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距離的積等于常數(shù)a²（a＞1），利用直接法，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），及可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，然后由方程特點(diǎn)即可加以判斷．

解答： 解：對(duì)于①，由題意設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則利用題意及兩點(diǎn)間的距離公式的得：[（x+1）²+y²]•[（x-1）²+y²]=a⁴，將原點(diǎn)代入驗(yàn)證，此方程不過(guò)原點(diǎn)，所以①錯(cuò)；
對(duì)于②，把方程中的x被-x代換，y被-y 代換，方程不變，故此曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故②正確；
對(duì)于③，由題意知點(diǎn)P在曲線C上，則△F₁PF₂的面積S_△F1PF2=

1

2

×2×y=y，由①知y²=-x²-1+

4x2+a4

或y²=-x²-1-

4x2+a4

（舍去），令

4x2+a4

=t，則x²=

t2-a4

4

，∴y²=-

t2-a4

4

-1+t=-

1

4

（t-2）²+

a4

4

≤

a4

4

，∴S_△F1PF2²=y²≤

1

2

a²，故③正確；
對(duì)于④，y²=-x²-1+

4x2+a4

，∴y²+x²=-1+

4x2+a4

≥a²-1，∴P到原點(diǎn)的距離不小于

a2-1

，故④正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用直接法求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并化簡(jiǎn)，利用方程判斷曲線的對(duì)稱(chēng)性及利用解析式選擇換元法求出值域．