Question

無(wú)窮數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：(λ≥0為常數(shù))．

(1)若a₁＝1且數(shù)列{na_n}為等比數(shù)列，求λ；

(2)已知a₁＝1，λ＝3，若50＜a_m＜80，求m；

(3)若存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時(shí)，有a_n+1＜a_n，求證：存在正整數(shù)M，使得當(dāng)n＞M時(shí)，有a_n＜0．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1) 　　 　　由為等比數(shù)列，知λn－2與n無(wú)關(guān)，故λ＝0． 　　當(dāng)λ＝0時(shí)，數(shù)列是以１為首項(xiàng)，以－2為公比的等比數(shù)列． 　　(2)當(dāng)λ＝3時(shí)，． 　　取n為1，2，3，，累乘得： 　　　(n≥2)． 　　∵a1＝1 　　 　　當(dāng)n≥2時(shí)，． 　　而a4＜50，a5＝56，a6＞80， 　　∴m＝5 　　(3)當(dāng)λ＝0時(shí)，，說(shuō)明an+1與an異號(hào)，此時(shí)不存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時(shí)，有an+1＜an． 　　當(dāng)λ＞0時(shí)，必存在正整數(shù)N0(取大于的正整數(shù)即可)，使得當(dāng)n＞N0時(shí)，有，即存在正整數(shù)N0，使得當(dāng)n＞N0時(shí)，有； 　　因?yàn)榇嬖谡�整�?shù)N，使得當(dāng)n＞N時(shí)，恒有an+1＜an成立， 　　取N1為N0與N的較大者，則必存在正整數(shù)M≥N1，使得當(dāng)n＞M時(shí)，an＜0． 　　∴存在正整數(shù)M，使得當(dāng)n＞M時(shí)，有an＜0． 　　命題意圖：數(shù)列中涉及恒成立或存在性的問(wèn)題，往往和最大(小)值及單調(diào)性有關(guān)，常見(jiàn)做法是用an+1和an進(jìn)行作差、作商、比較或構(gòu)造函數(shù)來(lái)判斷；通過(guò)本題的練習(xí)，希望學(xué)生能根據(jù)題目的條件和結(jié)論獲取信息，抓住特點(diǎn)，進(jìn)行代數(shù)推理論證；本題第(3)問(wèn)也可用反證法說(shuō)明，解題中要重視它的運(yùn)用．