Question

已知拋物線的焦點為F₂，點F₁與F₂關于坐標原點對稱，直線m垂直于x軸（垂足為T），與拋物線交于不同的兩點P、Q且.

（I）求點T的橫坐標；

（II）若以F₁,F₂為焦點的橢圓C過點.

①求橢圓C的標準方程；

②過點F₂作直線l與橢圓C交于A,B兩點，設，若的取值范圍.

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意得，，設，

則，.

由，

得即，①                …………………2分

又在拋物線上，則，②

聯立①、②易得                              ……………………4分

（Ⅱ）（ⅰ）設橢圓的半焦距為，由題意得，

設橢圓的標準方程為，

則   ③

    ④                                   …………………5分

將④代入③，解得或（舍去）                   

所以                                  ……………………6分

故橢圓的標準方程為                     ……………………7分

（ⅱ）方法一：

容易驗證直線的斜率不為0，設直線的方程為

將直線的方程代入中得：.………………8分

設，則由根與系數的關系，

可得：      ⑤

         ⑥                        …………………9分

因為，所以，且.

將⑤式平方除以⑥式，得：

由

所以       ……………………………………………………………11分

因為，所以，

又，所以，

故

，

令，因為  所以，即，

所以.

而，所以. 

所以.……………………………………………………13分

方法二：

1）當直線的斜率不存在時，即時，，，

又，所以        …………8分

2）當直線的斜率存在時，即時，設直線的方程為

由得

    設，顯然，則由根與系數的關系，

可得：，            ……………………9分

          ⑤

    ⑥

因為，所以，且.

將⑤式平方除以⑥式得：

由得即

故，解得    ………………………………………10分

因為，所以，

又，

故

…………………11分

令，因為  所以，即，

所以.

所以                           ……………………12分

綜上所述：.