Question

在單位圓O上的兩點(diǎn)A，B，滿足∠AOB=120°，點(diǎn)C是單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，且

OC

=x

OA

+y

OB

，則x-2y的取值范圍是（　�。�

• A．[0，2]
• B．[-2，2]
• C．[-

  2

  ，

  2

  ]
• D．[0，

  2

  ]

Answer 1

分析：以O(shè)為原點(diǎn)、OA所在直線為x軸，建立如圖坐標(biāo)系，得A（1，0），B（-

1

2

，

3

2

）．由

OC

=x

OA

+y

OB

，得C（x-

1

2

y，

3

2

y），由點(diǎn)C在單位圓上得x²-xy+y²-1=0，再設(shè)t=x-2y，利用一元二次方程根的判斷式列式，可得x-2y的取值范圍．

解答：解：以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立坐標(biāo)系，可得A（1，0），如圖所示
∵∠AOB=120°，∴B（-

1

2

，

3

2

）
設(shè)C（m，n），得

OC

=（m，n）
∵

OC

=x

OA

+y

OB

=（x-

1

2

y，

3

2

y）
∴m=x-

1

2

y，n=

3

2

y，得C（x-

1

2

y，

3

2

y）
∵點(diǎn)C單位圓上的點(diǎn)，
∴（x-

1

2

y）²+（

3

2

y）²=1，得x²-xy+y²-1=0…（*）
為了求x-2y的取值范圍，令t=x-2y，得y=

1

2

（x-t）
代入（*）并整理，得

3

4

x²+

1

4

t²-1=0
上述方程有解，所以△=-4×

3

4

（

1

4

t²-1）≥0，解之得-2≤t≤2
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題給出起點(diǎn)在原點(diǎn)、終點(diǎn)在單位圓上的向量，在滿足已知等式的情況下求變量的取值范圍，著重考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和根的判別式等知識(shí)，屬于中檔題．