已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a2=6,a5=18,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,且Tn+
12
bn=1

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Mn;
(Ⅱ)求證數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求出其通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和Tn公式;
(III)記cn=an•bn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn
分析:(Ⅰ)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,由a2=6,a5=18,可求首項(xiàng)及公差,進(jìn)而可求通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和
(Ⅱ)由Tn+
1
2
bn=1
,令n=1,可求b1=
2
3
.當(dāng)n≥2時(shí),由Tn+
1
2
bn=1
,可得Tn-1+
1
2
bn-1=1
,兩式相減得Tn+
1
2
bn-Tn-1-
1
2
bn-1=0
.即bn=
1
3
bn-1
,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式可求
(III)由(I)(II)可得,cn=anbn=4(2n-1)•(
1
3
)n
,故考慮利用錯(cuò)位相減求數(shù)列的和
解答:解:(Ⅰ)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,
由a2=6,a5=18,
可得a1+d=6,a1+4d=18,
解得a1=2,d=4.
從而an=4n-2,Mn=2n2
(Ⅱ)由Tn+
1
2
bn=1

令n=1,則b1+
1
2
b1=1
,可得b1=
2
3

當(dāng)n≥2時(shí),Tn+
1
2
bn=1
Tn-1+
1
2
bn-1=1
,
兩式相減得Tn+
1
2
bn-Tn-1-
1
2
bn-1=0

可得bn=
1
3
bn-1

所以數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.
可得bn=2×(
1
3
)n
,Tn=
2
3
[1-(
1
3
)
n
]
1-
1
3
=1-
1
3n
.…(8分)
(Ⅲ)由cn=anbn=4(2n-1)•(
1
3
)n

Sn=4[1×
1
3
+3×(
1
3
)
2
+5×(
1
3
)
3
+…+(2n-1)×(
1
3
)
n
]
1
3
Sn=4[1×(
1
3
)
2
+3×(
1
3
)
3
+…+(2n-3)×(
1
3
)
n
+(2n-1)×(
1
3
)
n+1
]

兩式相減得
2
3
Sn=4[
1
3
+2×(
1
3
)
2
+2×(
1
3
)
3
+…+2×(
1
3
)
n
-(2n-1)×(
1
3
)
n+1
]

整理得Sn=4-
4(n+1)
3n
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用基本量求解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的和,及利用遞推關(guān)系構(gòu)造等比數(shù)列求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,本題的難點(diǎn)在于(III)的錯(cuò)位相減求解數(shù)列的和
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義一個(gè)“等積數(shù)列”:在一個(gè)數(shù)列中,如果每一項(xiàng)與它后一項(xiàng)的積都是同一常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫“等積數(shù)列”,這個(gè)常數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的公積.已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列,且a1=2,公積為5,則這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算公式為:
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在一個(gè)數(shù)列中,如果?n∈N*,都有an•an+1•an+2=k(k為常數(shù)),那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列,k叫做這個(gè)數(shù)列的公積.已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列,且a1=1,a2=3,公積為27,則a1+a2+a3+…+a18=
78
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義“等積數(shù)列”:在一個(gè)數(shù)列中,如果每一個(gè)項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的積都為同一個(gè)常數(shù),那末這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公積.已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列,且a1=2,公積為5,Tn為數(shù)列{an}前n項(xiàng)的積,則T2011=
51006
2
51006
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

我們對(duì)數(shù)列作如下定義,如果?n∈N*,都有anan+1an+2=k(k為常數(shù)),那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列,k叫做這個(gè)數(shù)列的公積.已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列,且a1=1,a2=2,公積為6,則a1+a2+a3+…+a9=
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知等差數(shù)列的定義為:在一個(gè)數(shù)列中,從第二項(xiàng)起,如果每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都為同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公差.
(1)類比等差數(shù)列的定義給出“等和數(shù)列”的定義;
(2)已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列,且a1=2,公和為5,求 a18的值,并猜出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式(不要求證明).

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