已知函數(shù)f(x)=log
1
2
(
x2-1
-x)
(1)求函數(shù)f(x)的定義域;(2)判斷f(x)的單調(diào)性,并用函數(shù)單調(diào)性的定義予以證明.
分析:(1)由題意可得,
x2-1
-x>0
,解不等式可求函數(shù)定義域
(2)利用單調(diào)性定義證明:要判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,只要先判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性,由函數(shù)y=log
1
2
x
在(0,+∞)上是減函數(shù),及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷f(x)的單調(diào)性
解答:解:(1)由
x2-1
-x>0?
x2-1
>x?
x2-1≥0
x≥0
x2-1>x2
x2-1≥0
x<0
?x≤-1

故f(x)的定義域為[-∞,-1]
證明:(2)任取x1<x2≤-1,令g(x)=
x2-1-x

g(x2)=g(x1)=(
x22-1
-x2)-(
x
2
1
-1
-x1)=(
x
2
2
-1
-
x2-1
)-(x2-x1)

=
x
2
2
-x12
x
2
2
-1
+
x
2
1
-1
-(x2-x1)=
(x2-x1)[(x2+x1)-(
x
2
2
-1
+
x12-1
)]
x
2
2
-1
+
x
2
1
-1

=
-(x2-x1)[(
x22-1
-x2)+(
x12-1
-x1)]
x
2
2
-1
+
x12-1
<0
,
故g(x2)<g(x1)又函數(shù)y=log
1
2
x
在(0,+∞)上是減函數(shù),
所以有log
1
2
g(x2)>log
1
2
g(x1)
,即f(x2)>f(x1),
即f(x)在(-∞,-1]上是增函數(shù)
點評:本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的定義域的求解,函數(shù)單調(diào)性定義的應(yīng)用及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,屬于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函數(shù)f(x)在P(0,f(0))的切線方程為y=5x+1,求實數(shù)a,b的值:
(2)當(dāng)a<3時,令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx
的圖象在點P(2,f(2))處的切線方程為l:y=x+b
(1)求出函數(shù)y=f(x)的表達式和切線l的方程;
(2)當(dāng)x∈[
1
e
,e]
時(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a為常數(shù)),直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的圖象都相切,且l與函數(shù)f(x)的圖象的切點的橫坐標(biāo)為1.
(1)求直線l的方程及a的值;
(2)當(dāng)k>0時,試討論方程f(1+x2)-g(x)=k的解的個數(shù).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax

(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)f(x)有兩個極值點x1,x2,若過兩點(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線l與x軸的交點在曲線y=f(x)上,求a的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b為實數(shù),x∈R,a∈R.
(1)當(dāng)1<a<2時,若f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值、最大值分別為-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的條件下,求經(jīng)過點P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程;
(3)試討論函數(shù)F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的極值點的個數(shù).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案