Question

圓x²+y²=8內(nèi)有一點(diǎn)P（-1，2），弦AB過點(diǎn)P，且傾斜角為α
（1）若 sinα=

4

5

，求線段AB的長；
（2）若弦AB恰被P平分，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（1）圓x²+y²=8內(nèi)有一點(diǎn)P（-1，2），弦AB過點(diǎn)P，且傾斜角為α，sinα=

4

5

，知k=tanα=

4

3

，或k=tanα=-

4

3

，由此能求出弦長|AB|．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由弦AB恰被P（-1，2）平分，知

x1+x2=-2 y1+y2=4

，把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別代入圓x²+y²=8，利用點(diǎn)差法能求出直線AB的方程．

解答：解：（1）∵圓x²+y²=8內(nèi)有一點(diǎn)P（-1，2），弦AB過點(diǎn)P，
且傾斜角為α，sinα=

4

5

，
∴k=tanα=

4

3

，或k=tanα=-

4

3

，
當(dāng)k=

4

3

時(shí)，直線AB的方程為y-2=

4

3

(x+1)，即4x-3y+10=0，
圓心（0，0）到直線4x-3y+10=0的距離d=

|0+0+10|

16+9

=2，
圓半徑r=2

2

，
則弦長|AB|=2

(2 2 )2-22

=4；
當(dāng)k=-

4

3

時(shí)，直線AB的方程為y-2=-

4

3

(x+1)，即4x+3y-2=0，
圓心（0，0）到直線4x+3y-2=0的距離d=

|0+0-2|

16+9

=

2

5

，
圓半徑r=2

2

，
則弦長|AB|=2

(2 2 )2-( 2 5 )2

=

28

5

．
故線段AB的長為4或

28

5

．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵弦AB恰被P（-1，2）平分，∴

x1+x2=-2 y1+y2=4

，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別代入圓x²+y²=8，得

x12+y12=8 x22+y22=8

，
二者相減，得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴-2（x₁-x₂）+4（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=

1

2

，
∴直線AB的方程為y-2=

1

2

（x+1），即x-2y+5=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查弦長公式的應(yīng)用，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．