Question

已知下列命題四個命題：
①函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；
②若x是第一象限的角，則y=sinx是增函數(shù)；
③，且cosα＜sinβ，則；
④若，則siny-cos²x的最大值是．
其中真命題的個數(shù)有（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：①先利用誘導公式將函數(shù)變形，再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，通過解不等式得其單調(diào)增區(qū)間；②ysinx在（2kπ，2kπ+）上為增函數(shù)不同于在第一象限是增函數(shù)，注意區(qū)別；③先利用誘導公式將三角不等式兩邊化為同名函數(shù)且將角化到同一單調(diào)區(qū)間上，即可利用單調(diào)性得角的關(guān)系；④先將所求三角式化為關(guān)于sinx的二次函數(shù)，再求sinx的取值范圍，進而利用二次函數(shù)的圖象求函數(shù)的最大值即可
解答：解：①函數(shù)=-sin（2x-），由2kπ+≤2x-≤2kπ+，得x∈[kπ+，kπ+]，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ+，kπ+]，①錯誤；
②＜2π+，且均為第一象限角，但sin＞sin（2π+），故②錯誤；
③cosα＜sinβ，即sin（-α）＜sinβ，∵，∴-α∈，y=sinx在上單調(diào)遞增，∴-α＜β，即，③正確；
④siny-cos²x=-sinx-1+sin²x=sin²x-sinx-=（sinx-）²-，∵-1≤siny=-sinx≤1，∴-≤sinx≤1，∴當sinx=-時，siny-cos²x的最大值是，④錯誤
∴真命題只有③
故選 A
點評：本題綜合考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，誘導公式的運用，三角函數(shù)求值域的方法，及y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法等基礎(chǔ)知識