已知橢圓C方程為
x2
4
+
y2
3
=1，直線l：y=
x
2
+m與橢圓C交于A、B兩點，點P(1，
3
2
)，
（1）求弦AB中點M的軌跡方程；
（2）設(shè)直線PA、PB斜率分別為k1、k2，求證：k1+k2為定值．
分析：（1）將l：y=
x
2
+m代入
x2
4
+
y2
3
=1消去y并整理得4x2+4mx+4m2-12=0，由△＞0，知-2＜m＜2．再由x1+x2=-m，x1x2=m2-3，知弦AB中點M的軌跡方程是y=-
3
2
x在橢圓內(nèi)部部分．
（2）先設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2），根據(jù)斜率公式k1+k2=
y1-
3
2
x1-1
+
y2-
3
2
x2-1
=
x1x2+(m-
3
2
)(x1+x2-2)-
x1+x2
2
x1x2-(x1+x2)+1
即可求出結(jié)果．
解答：解：（1）將l：y=
x
2
+m代入
x2
4
+
y2
3
=1，
消去y并整理得4x2+4mx+4m2-12=0，
△=16m2-16（4m2-12）=48（4-m2）＞0，
-2＜m＜2．
x1+x2=-m，x1x2=m2-3，
x0=-
m
2
，y0=
3
4
m，
∴弦AB中點M的軌跡方程是y=-
3
2
x在橢圓內(nèi)部部分．（6分）
（2）設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2），A、B兩點在直線l：y=
x
2
+m上
∴k1+k2=
y1-
3
2
x1-1
+
y2-
3
2
x2-1
=
x1x2+(m-
3
2
)(x1+x2-2)-
x1+x2
2
x1x2-(x1+x2)+1

=
m2-3+(m-
3
2
)(-m-2)+
m
2
m2-3+m+1
=0（12分）
點評：本題考查直線 與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運用，具有一定的難度，解題時要認真審題，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓C方程為x2+y2-8mx-（6m+2）y+6m+1=0（m∈R，m≠0），橢圓中心在原點，焦點在x軸上．
（1）證明圓C恒過一定點M，并求此定點M的坐標；
（2）判斷直線4x+3y-3=0與圓C的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）當m=2時，圓C與橢圓的左準線相切，且橢圓過（1）中的點M，求此時橢圓方程；在x軸上是否存在兩定點A，B，使得對橢圓上任意一點Q（異于長軸端點），直線QA，QB的斜率之積為定值？若存在，求出A，B坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C與雙曲線x2-y2=1共焦點，且下頂點到直線x+y-2=0的距離為
3
2
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若一直線l2：y=kx+m與橢圓C相交于A、B（A、B不是橢圓的頂點）兩點，以AB為直徑的圓過橢圓的上頂點，求證：直線l2過定點，并求出該定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C方程為
x2
4
+
y2
3
=1，直線l：y=
x
2
+m與橢圓C交于A、B兩點，點P(1，
3
2
)，
（1）求弦AB中點M的軌跡方程；
（2）設(shè)直線PA、PB斜率分別為k1、k2，求證：k1+k2為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年江蘇省鎮(zhèn)江市揚中二中高三（上）1月綜合練習數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知圓C方程為x2+y2-8mx-（6m+2）y+6m+1=0（m∈R，m≠0），橢圓中心在原點，焦點在x軸上．
（1）證明圓C恒過一定點M，并求此定點M的坐標；
（2）判斷直線4x+3y-3=0與圓C的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）當m=2時，圓C與橢圓的左準線相切，且橢圓過（1）中的點M，求此時橢圓方程；在x軸上是否存在兩定點A，B，使得對橢圓上任意一點Q（異于長軸端點），直線QA，QB的斜率之積為定值？若存在，求出A，B坐標；若不存在，請說明理由．

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