Question

一輛卡車高3米，寬2米，欲通過斷面為拋物線型的隧道，已知拱口寬恰好是拱高的2倍，若拱口寬為2a米，求使卡車通過的a的最小整數(shù)值．

Answer 1

分析：建立直角坐標(biāo)系，如圖：則由題意可得O、A、B、D的坐標(biāo)，a＞0．設(shè)拋物線的方程為 x²=-2py，則把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入求得p的值，可得拋物線方程為 x²=-ay．把x=1代入拋物線方程求得y=-

1

a

．要使卡車通過時，需 a-

1

a

≥3，由此解得a的范圍，可得a的最小正整數(shù)值．

解答：解：以拱頂為原點(diǎn)、拋物線的對稱軸為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖：
則由題意可得O（0，0）、A（-a，-a）、B（a，-a）、C（-1，-a）、D（1，-a），a＞0．
設(shè)拋物線的方程為 x²=-2py，則把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入可得p=

a

2

，
∴拋物線方程為 x²=-ay．
把x=1代入拋物線方程可得 y=-

1

a

．
要使卡車通過時，需 a-

1

a

≥3，解得 a≥

3+ 13

2

，或a≤

3- 13

2

（舍去）．
故a的最小正整數(shù)為4．

點(diǎn)評：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，用坐標(biāo)法解決幾何問題，屬于中檔題．