Question

已知函數(shù)（其中是實(shí)數(shù)常數(shù)，）

（1）若，函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)（—1，3）成中心對稱，求的值；

（2）若函數(shù)滿足條件（1），且對任意，總有，求的取值范圍；

（3）若b=0，函數(shù)是奇函數(shù)，，，且對任意時(shí)，不等式恒成立，求負(fù)實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：(1)由于，，這種類型的函數(shù)我們易聯(lián)想到函數(shù)的平移變換，如向右平移個單位，再向上平移個單位，得函數(shù)的圖象，且函數(shù)的圖象的對稱中心就是，因此我們只要把轉(zhuǎn)化為的形式，即，就能得出結(jié)論；（2）由(1)知，，問題是當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域，可分類討論，當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，函數(shù)具有單調(diào)性，由此可很快求出函數(shù)的最值，求出的取值范圍；（3）由于，中還有三個參數(shù)，正好題中有三個條件，我們可先求出，然后才能把不等式化為，由于，因此此分式不等式可以兩邊同乘以直接去分母化為整式不等式，，從而可以分離參數(shù)得，也即，下面我們只要求出的最小值即可.

試題解析：(1)，

．

類比函數(shù)的圖像，可知函數(shù)的圖像的對稱中心是．

又函數(shù)的圖像的對稱中心是，

(2)由(1)知，．

依據(jù)題意，對任意，恒有．

若，則，符合題意．

若，當(dāng)時(shí)，對任意，恒有，不符合題意．

所以，函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)，且滿足．

因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)符合題意．

綜上，所求實(shí)數(shù)的范圍是．

(3)依據(jù)題設(shè)，有解得

于是，．

由，解得．

因此，．

考察函數(shù)，可知該函數(shù)在是增函數(shù)，故．

所以，所求負(fù)實(shí)數(shù)的取值范圍是．

考點(diǎn)：（1）圖象變換；（2）函數(shù)的最值；（3）分式不等式與分離參數(shù)法求參數(shù)取值范圍.