Question

∫

π 2 0

cos2

x

2

dx+

∫

1 0

1-x2

dx=．

π+1

2

．

Answer 1

分析：利用倍角公式對cos²

x

2

進行降冪，求出其原函數(shù)，對于

∫

1 0

1-x2

dx的值，我們可以利用他表示的幾何意義即三角形的面積進行求解；

解答：解：

∫

π 2 0

cos2

x

2

dx=

∫

π 2 0

1

2

(1+cosx)dx=

π

4

+

1

2

sinx|

π 2 0

=

π

4

+

1

2

；
定積分

∫

1 0

1-x2

dx中y=

1-x2

≥0，在（0，1）上的積分就是圓x²+y²=1，在第一象限的面積，
∴

∫

1 0

1-x2

dx=

1

4

×π=

π

4

，
∴

∫

π 2 0

cos2

x

2

dx+

∫

1 0

1-x2

dx=

π

4

+

1

2

+

π

4

=

π+1

2

，
故答案為：

π+1

2

點評：本題主要考查了定積分的運算，定積分是一種“和”的極限，蘊含著分割、近似代替，求和、取極限的思想方法，屬于基礎(chǔ)題．