已知是橢圓E：的兩個焦點，拋物線的焦點為橢圓E的一個焦點，直線y＝上到焦點F1，F(xiàn)2距離之和最小的點P恰好在橢圓E上，

（1）求橢圓E的方程；
（2）如圖，過點的動直線交橢圓于A、B兩點，是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.
(1)(2)AB為直徑的圓恒過這個定點(0,1).

試題分析：(1)求出拋物線的焦點得到橢圓的兩個焦點(即C值),求其中一個焦點關于直線的對稱點，再利用點點之間直線距離最短求出直線y＝上到焦點F1，F(xiàn)2距離之和最小的點P的坐標（即為對稱點與另一個焦點連線與直線y＝的交點）,即得橢圓上一點的坐標,便可求出a,b,c得到橢圓的標準方程.
(2)直線的斜率為k,通過聯(lián)立方程式,韋達定理等用斜率k來建立圓的方程,進而判斷關于參數(shù)k的圓是否經過定點(即是否有相應點的坐標使得參數(shù)k的系數(shù)為0即可)
試題解析：
（1）由拋物線的焦點可得：，點關于直線的對稱點為
故，因此，橢圓方程為
（2）假設存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點。
當AB軸時，以AB為直徑的圓的方程為：  ①
當AB軸時，以AB為直徑的圓的方程為： ②
由①②知定點M。下證：以AB為直徑的圓恒過定點M。設直線，代入，有。設，則。
則，

在y軸上存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個定點.
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的一個頂點和兩個焦點構成的三角形的面積為4．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知直線與橢圓交于、兩點，試問，是否存在軸上的點，使得對任意的，為定值，若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由.

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如圖，橢圓 (a>b>0)的上、下頂點分別為A、B，已知點B在直線l：上，且橢圓的離心率e =．

(1)求橢圓的標準方程；
(2)設P是橢圓上異于A、B的任意一點，PQ⊥y軸，Q為垂足，M為線段PQ中點，直線AM交直線l于點C，N為線段BC的中點，求證：OM⊥MN．

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設橢圓的左、右焦點分別、，點是橢圓短軸的一個端點，且焦距為6，的周長為16．
（I）求橢圓的方程；
（2）求過點且斜率為的直線被橢圓所截的線段的中點坐標．

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如圖，已知點是離心率為的橢圓：上的一點，斜率為的直線交橢圓于，兩點，且、、三點互不重合．

（1）求橢圓的方程；（2）求證：直線，的斜率之和為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知離心率為的雙曲線和離心率為的橢圓有相同的焦點、，是兩曲線的一個公共點，若，則等于(     )
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓，圓，過橢圓上任一與頂點不重合的點P引圓O的兩條切線，切點分別為A,B，直線AB與x軸,y軸分別交于點M,N，則_____________

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為.不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．

(1)求橢圓C的方程；
(2)求△ABP面積取最大值時直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，F(xiàn)1、F2是橢圓＝1(a>b>0)的左、右焦點，點M在x軸上，且＝，過點F2的直線與橢圓交于A、B兩點，且AM⊥x軸，·＝0.

(1)求橢圓的離心率；
(2)若△ABF1的周長為，求橢圓的方程．

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