Question

函數(shù)的反函數(shù)為f^-1（x），數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：，a_n+1=f^-1（a_n），函數(shù)y=f^-1（x）的圖象在點(diǎn)（n，f^-1（n））（n∈N^*）處的切線在y軸上的截距為b_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列；的項(xiàng)中僅最小，求λ的取值范圍；
（3）令函數(shù)，0＜x＜1．?dāng)?shù)列{x_n}滿足：，0＜x_n＜1且x_n+1=g（x_n），（其中n∈N^*）．證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的反函數(shù)．，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由，知，所以y=f^-1（x）在點(diǎn)（n，f^-1（n））處的切線方程為，由此入手能求出λ的取值范圍．
（3）．所以，又因0＜x_n＜1，則x_n+1＞x_n．由此入手能夠證明．
解答：解：（1）令，解得；由0＜x＜1，解得y＞0．
∴函數(shù)f（x）的反函數(shù)．
則，．
∴是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，故．（4分）

（2）∵，∴，
∴y=f^-1（x）在點(diǎn)（n，f^-1（n））處的切線方程為，
令x=0得．∴．
∵僅當(dāng)n=5時(shí)取得最小值，∴．
∴λ的取值范圍為（9，11）（8分）

（3）．
所以，
又因0＜x_n＜1，則x_n+1＞x_n（10分）
顯然．
∴
∴
=（12分）
∵，∴，∴
∴（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的合理運(yùn)用．