Question

對于函數(shù)f（x），若存在常數(shù)a≠0，使得取x定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都有f（x）=-f（2a-x），則稱f（x）為準(zhǔn)奇函數(shù)．給出下列函數(shù)①f（x）=（x-1）²，②f（x）=

1

x+1

，③f（x）=x³，④f（x）=cosx，其中所有準(zhǔn)奇函數(shù)的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：判斷對于函數(shù)f（x）為準(zhǔn)奇函數(shù)的主要標(biāo)準(zhǔn)是：若存在常數(shù)a≠0，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（a，0）對稱，則稱f（x）為準(zhǔn)奇函數(shù)．

解答： 解：對于函數(shù)f（x），若存在常數(shù)a≠0，使得x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都有f（x）=-f（2a-x）知，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（a，0）對稱，
對于①f（x）=（x-1）²，函數(shù)無對稱中心，
對于②f（x）=

1

x+1

，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（1，0）對稱，
對于③f（x）=x³，函數(shù)f（x）關(guān)于（0，0）對稱，
對于④f（x）=cosx，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（kπ+

π

2

，0）對稱，
故答案為：②④．

點(diǎn)評：本題考查新定義的理解和應(yīng)用，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（a，0）對稱，則稱f（x）為準(zhǔn)奇函數(shù)是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．