Question

如圖所示，矩形中，，，，且，交于點(diǎn).

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求三棱錐的體積．

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

試題分析：本題主要考查線線垂直、線面垂直、線線平行、線面平行的判定和性質(zhì)以及三棱錐的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力以及運(yùn)算能力.第一問，由于為矩形，所以是中點(diǎn)，由于⊥平面，利用線面垂直的性質(zhì)，得，而在中，，，所以是中點(diǎn)，所以∥，利用線面平行的判定得∥平面；第二問，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824033658873387.png" style="vertical-align:middle;" />⊥平面，所以⊥平面，利用線面垂直的性質(zhì)，所以垂直面內(nèi)的線，同理，⊥，利用線面垂直的判定，得⊥平面，所以利用第一問的結(jié)論得面，在中求出的長(zhǎng)，在中求出的長(zhǎng)，從而求出的面積，用等體積轉(zhuǎn)化法求.
試題解析：(1)由題意可得是的中點(diǎn)，連結(jié)，
∵⊥平面，∴.而，∴是的中點(diǎn)，                    2分
在中，，∴∥平面.                               5分
(2)∵⊥平面，，∴⊥平面，則⊥.
又∵⊥平面，則⊥，又，∴⊥平面.       8分
∵∥.而⊥平面，∴⊥平面.∵是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，
∴∥且＝＝1.∴Rt△中，，        10分
∴.∴   12分