Question

如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長為1，高為2，M為線段AB的中點．
求：（1）三棱錐C₁-MBC的體積；
（2）異面直線CD與MC₁所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接CM，根據(jù)M為AB中點，且正方形ABCD邊長為1，得到△BCM的面積為S=S_{正方形ABCD}=．因為CC₁⊥平面ABCD，是三棱錐C₁-MBC的高，所以利用錐體體積公式，可得三棱錐C₁-MBC的體積；
（2）連接BC₁，正方形ABCD中，因為CD∥AB，所以∠C₁MB（或其補角）為異面直線CD與MC₁所成的角．Rt△MC₁B中，可算出BC₁=，而MB=AB=，利用直角三角形中三角函數(shù)的定義，得到tan∠C₁MB==，所以異面直線CD與MC₁所成角為arctan．
解答：解：（1）連接CM，
∵正方形ABCD中，M為AB中點，且邊長為1，
∴△BCM的面積為S=S_{正方形ABCD}=．
又∵CC₁⊥平面ABCD，
∴CC₁是三棱錐C₁-MBC的高，
∴三棱錐C₁-MBC的體積為：V_C1-MBC=××2=；
（2）連接BC₁
∵CD∥AB，
∴∠C₁MB（或其補角）為異面直線CD與MC₁所成的角．
∵AB⊥平面B₁C₁CB，BC₁?平面B₁C₁CB，
∴AB⊥BC₁．
Rt△MC₁B中，BC₁==，MB=AB=
∴tan∠C₁MB==
所以異面直線CD與MC₁所成角為arctan．
點評：本題給出一個特殊的正三棱柱，求其中的異面直線所成角和三棱錐體積，著重考查了棱錐的體積公式和異面直線及其所成的角等知識點，屬于中檔題．