Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足

(2a-c)cosB

b

=cosC．
（1）求角B的大��；
（2）設

m

=（sinA，cos2A），

n

=（4k，1）（k＞0），且

m

•

n

的最大值是5，求k的值．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應用

分析：（1）利用正弦定理、兩角和差的正弦公式、誘導公式即可得出；
（2）利用數(shù)量積運算、二次函數(shù)的單調性即可得出．

解答： 解：（1）由已知利用正弦定理可得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA
∵sinA≠0，∴cosB=

1

2

．
∵B∈（0，π），∴B=

π

3

．
（2）

m

 • 

n

=4ksinA+cos2A=4ksinA+1-2sin2A，A∈(0，  

2π

3

)
令sinA=t，則

m

 • 

n

=f(t)=-2t2+4kt+1，t∈(0，  1]
對稱軸為t=k＞0
①當0＜k≤1時，f(t)max=f(k)=-2k2+4k2+1=5
∴k=±

2

（舍）
②當k＞1時，f（t）_max=f（1）=-2+4k+1=5
∴k=

3

2

綜上，k=

3

2

．

點評：本題考查了正弦定理、兩角和差的正弦公式、誘導公式、數(shù)量積運算、二次函數(shù)的單調性，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．