Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=

1

2

AA₁，D是棱AA₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：C₁D⊥平面BDC；
（Ⅱ）求二面角C-BC₁-D的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：計(jì)算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）先由線面垂直的判定定理，得到BC⊥平面ACC₁A₁又DC₁?平面ACC₁A₁，所以DC₁⊥BC，再證得DC₁⊥DC．
再由線面垂直的判定即可得證；
（Ⅱ）分別以

CA

，

CB

，

CC1

為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)AA₁=2，顯然平面CBC₁的法向量為

n

=（1，0，0），設(shè)平面BC₁D的法向量為

m

=（x₀，y₀，z₀），由

m

•

BC1

=0，

m

•

C1D

=0，得到

m

=（1，2，1），再由向量的夾角公式，即可得到二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：由題意知BC⊥CC₁，BC⊥AC，CC₁∩AC=C，
所以BC⊥平面ACC₁A₁
又DC₁?平面ACC₁A₁，所以DC₁⊥BC，
由題設(shè)知∠A₁DC₁=∠ADC=45°，
所以∠CDC₁=90°，即DC₁⊥DC．
又DC∩BC=C，所以DC₁⊥平面BDC；
（Ⅱ）解：如圖，分別以

CA

，

CB

，

CC1

為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)AA₁=2，顯然平面CBC₁的法向量為

n

=（1，0，0），
設(shè)平面BC₁D的法向量為

m

=（x₀，y₀，z₀）
由于

BC1

=（0，0，2）-（0，1，0）=（0，1，0），

C1D

=（0，0，2）-（1，0，1）=（-1，0，1），
則由

m

•

BC1

=0，

m

•

C1D

=0
得-y₀+2z₀=0，-x₀+z₀=0，即

m

=（1，2，1），
由cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

1

6

，
故二面角C-BC₁-D的余弦值為

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查空間的二面角的求法，考查推理能力和空間向量法，及運(yùn)算能力，屬于中檔題．