Question

已知f（x）=xlnx，g(x)=

1

2

x2-x+a．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)y=g（x）在[0，3]上的值域；
（2）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（3）證明：對(duì)一切x∈（0，+∞），都有xlnx＞

g′(x)+1

ex

-

2

e

成立．

Answer 1

（1）當(dāng)a=2時(shí)，g（x）=

1

2

(x-1)2+

3

2

，x∈[0，3]，
當(dāng)x=1時(shí)，gmin(x)=g(1)=

3

2

；當(dāng)x=3時(shí)，gmax(x)=g(3)=

7

2

，
故g（x）值域?yàn)?span mathtag="math" >[

3

2

，

7

2

]．
（2）f'（x）=lnx+1，當(dāng)x∈(0，

1

e

)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈(

1

e

，+∞)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．                                   
①若 0＜t＜t+2＜

1

e

，t無解；                       
②若 0＜t＜

1

e

＜t+2，即0＜t＜

1

e

時(shí)，f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

；     
③若

1

e

≤t＜t+2，即t≥

1

e

時(shí)，f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（t）=tlnt，
所以 f（x）_min=

- 1 e  ，  0＜t＜ 1 e tlnt ，  t≥ 1 e

．        
（3）證明：令 h（x）=

g′(x)+1

ex

-

2

e

=

x

ex

-

2

e

，h′（x）=

1-x

ex

，
當(dāng) 0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）是增函數(shù)．當(dāng)1＜x時(shí)． h′（x）＜0，h（x）是減函數(shù)，
故h（x） 在（0，+∞）上的最大值為h（1）=-

1

e

．
而由（2）可得，f（x）=xlnx在（0，+∞）上的最小值為-

1

e

，
且當(dāng)h（x） 在（0，+∞）上的最大值為h（1）時(shí)，f（x）的值為ln1=0，
故在（0，+∞）上恒有f（x）＞h（x），即 xlnx＞

g′(x)+1

ex

-

2

e

．