Question

函數(shù)f（x）=2^x和g（x）=x³的圖象的示意圖如圖所示，設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂．
（I）請指出示意圖中曲線C₁，C₂分別對應(yīng)哪一個函數(shù)？
（II）證明：x₁∈[1，2]，且x₂∈[9，10]；
（III）結(jié)合函數(shù)圖象的示意圖，判斷f（6），g（6），f（2011），g（2011）的大小，并按從小到大的順序排列．

Answer 1

解：（I）C₁對應(yīng)的函數(shù)為g（x）=x³，C₂對應(yīng)的函數(shù)為f（x）．
（II）證明：
令φ（x）=f（x）-g（x）=2^x-x³，則x₁，x₂為函數(shù)φ（x）的零點，
由于φ（1）=1＞0，φ（2）=-4＜0，φ（9）=2⁹-9³＜0，φ（10）=2¹⁰-10³＞0，
所以方程φ（x）=f（x）-g（x）的兩個零點x₁∈（1，2），x₂∈（9，10）
∴x₁∈[1，2]，x₂∈[9，10]
（III）從圖象上可以看出，當(dāng)x₁＜x＜x₂時，f（x）＜g（x），
∴f（6）＜g（6）．（9分）
當(dāng)x＞x₂時，f（x）＞g（x），
∴g（2011）＜f（2011），（11分）
∵g（6）＜g（2011），
∴f（6）＜g（6）＜g（2011）＜f（2011）．（12分）
分析：（I）根據(jù)C₂對應(yīng)的函數(shù)值到一個范圍以后變化非常快，對應(yīng)的函數(shù)為f（x），函數(shù)為g（x）=x³，
（II）構(gòu)造新函數(shù)，使得兩個函數(shù)做差，則x₁，x₂為函數(shù)φ（x）的零點，利用零點的判定定理進(jìn)行驗證，在一個區(qū)間的兩個端點處函數(shù)值的符號．
（III）當(dāng)x₁＜x＜x₂時，f（x）＜g（x），當(dāng)x＞x₂時，f（x）＞g（x），根據(jù)兩個不同的區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性的不同，看出兩個函數(shù)值的大�。�
點評：本題考查指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長的差異，解題的關(guān)鍵是知道指數(shù)函數(shù)是一個爆炸函數(shù)，在一個范圍上變化的特別快．