Question

若的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：法1：令f=x+y，則f²=（x+y）²≤2（x²+y²）=2，所以f≤．由xy==，知≤．由此能求出的最大值．
法2：令x=cosa，y=sina，則 xy=cosa•sina=[（cos（））²-（sin（））²]•2sin（）cos（）=sin（）•[cos（）-sin（）]•（1+cosa+sina），而x+y-1=sina+cosa-1=2sin（）cos（）-2（sin（））²=2sin（）•[cos（）-sin（）]，由此能求出的最大值．
解答：解法1：令f=x+y，
則f²=（x+y）²≤2（x²+y²）=2，
所以f≤．
另一方面xy==，
所以≤．
當(dāng)x=y=時(shí)，取到最大值．
解法2：令x=cosa，y=sina，
則 xy=cosa•sina=[（cos（））²-（sin（））²]•2sin（）cos（）
=2sin（）•[cos（）-sin（）]•[cos（）+sin（）]•cos（）
=sin（）•[cos（）-sin（）]•（1+cosa+sina），
而x+y-1=sina+cosa-1
=2sin（）cos（）-2（sin（））²
=2sin（）•[cos（）-sin（）]，
所以=（1+cosa+sina）
=（1+sin（a+））
≤（1+），
所以當(dāng)x=y=時(shí)，的最大值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)值域的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題．，仔細(xì)挖掘題設(shè)中的隱含條件，在解法1國(guó)要注意均值不等式的合理運(yùn)用，在解法2中要注意三角函數(shù)的靈活運(yùn)用．