Question

（1）若x＞1，求x+

1

x-1

的最小值．
（2）設(shè)0＜x＜1，a＞0，b＞0，a，b為常數(shù)，求

a2

x

+

b2

1-x

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專(zhuān)題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）x+

1

x-1

=x-1+

1

x-1

+1，運(yùn)用基本不等式可求函數(shù)的最小值；
（2）

a2

x

+

b2

1-x

=(

a2

x

+

b2

1-x

)(x+1-x)=a2+

(1-x)a2

x

+

xb2

1-x

+b2，運(yùn)用基本不等式可求函數(shù)的最值；

解答： 解：（1）∵x＞1，∴x-1＞0，
∴x+

1

x-1

=x-1+

1

x-1

+1≥3（當(dāng)且僅當(dāng)x-1=

1

x-1

即x=2時(shí)取“=”），
∴x+

1

x-1

的最小值為3；
（2）∵0＜x＜1，a＞0，b＞0，
∴

a2

x

+

b2

1-x

=(

a2

x

+

b2

1-x

)(x+1-x)=a2+

(1-x)a2

x

+

xb2

1-x

+b2≥a2+2

a2b2

+b2=(a+b)2，
（當(dāng)且僅當(dāng)

(1-x)a2

x

=

xb2

1-x

即x=

a

a+b

時(shí)取等號(hào)）．
∴

a2

x

+

b2

1-x

的最小值是（a+b）²．

點(diǎn)評(píng)：該題考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，屬基礎(chǔ)題，對(duì)式子進(jìn)行靈活變形，合理創(chuàng)建使用基本不等式的條件是解題關(guān)鍵．