Question

已知α、β是銳角，，且滿足3sinβ=sin（2α+β）．
（1）求證：tan（α+β）=2tanα
（2）求tanβ的最大值，并求取得最大值時(shí)tanα的值．

Answer 1

解：（1）證明：由3sinβ=sin（2α+β）得：
3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]
?3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα
?sin（α+β）cosα=2c0s（α+β）sinα
∵知α、β是銳角，，
∴?tan（α+β）=2tanα
（2）因?yàn)閠anβ=tan[（α+β）-α]===
又因?yàn)棣潦卿J角
所以+2tanα≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)tanα=．
故tanβ≤=．
所以：當(dāng)時(shí)，
分析：（1）把條件3sinβ=sin（2α+β）中的角都用所要證明的結(jié)論中的角表示為3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]；再利用兩角和與差的正弦公式展開(kāi)，整理即可證明結(jié)論．
（2）先由（1）得tanβ=tan[（α+β）-α]===，再利用基本不等式求出分母的最值；即可求出tanβ的最大值，并求出其取最大值時(shí)tanα的值．
點(diǎn)評(píng)：在三角恒等式的證明中，一般都是把已知條件與所證結(jié)論相結(jié)合，即要看條件，又要分析條件和結(jié)論之間的關(guān)系．