Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）當(dāng) a=-1時(shí)，證明：在（1，+∞）上，f（x）+2＞0；
（2）求證：

ln2

2

•

ln3

3

•

ln4

4

…

lnn

n

＜

1

n

（n≥2，n∈N⁺）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在（1，+∞）上的最小值為f（1）=-2，即可得出證明；
（2）由（1）得-ln x+x-3+2＞0，即ln x＜x-1對一切x∈（1，+∞）恒成立．0＜ln n＜n-1，即0＜

lnn

n

＜

n-1

n

，即可得出結(jié)論成立．

解答： 解：（1）根據(jù)題意知，f′（x）=

a(1-x)

x

（x＞0），
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1]，單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1]；
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）不是單調(diào)函數(shù)．
所以a=-1時(shí)，f（x）=-ln x+x-3，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以f（x）＞f（1），
即f（x）＞-2，所以f（x）+2＞0．…（6分）
（2）由（1）得-ln x+x-3+2＞0，即-ln x+x-1＞0，
所以ln x＜x-1對一切x∈（1，+∞）恒成立．∵n≥2，n∈N^*，
則有0＜lnn＜n-1，∴0＜

lnn

n

＜

n-1

n

，
∴

ln2

2

•

ln3

3

•

ln4

4

•…•

lnn

n

＜

1

2

•

2

3

•

3

4

•…•

n-1

n

=

1

n

（n≥2，n∈N^*）．        …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值知識(shí)，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，注意構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用，屬于難題．