Question

設(shè)△ABC的頂點(diǎn)A（3，-1），內(nèi)角B的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為x-4y+10=0，AB邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為6x+10y-59=0，求△ABC面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)的一般式方程與直線(xiàn)的垂直關(guān)系

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓

分析：設(shè)AB中點(diǎn)D（x₀，y₀），則B（2x₀-3，2y₀+1），由點(diǎn)在直線(xiàn)可得D（

13

2

，2），B（10，5），再設(shè)A關(guān)于∠B平分線(xiàn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′（m，n），解方程組可得A′（1，7），可得BA′方程為2x+9y-65=0，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得BC邊上高h(yuǎn)_BC和|BC|，由面積公式可得．

解答： 解：設(shè)AB中點(diǎn)D（x₀，y₀），則B（2x₀-3，2y₀+1），
∵BD分別在兩已知直線(xiàn)上，
∴

(2x0-3)-4(2y0+1)+10=0 6x0+10y0-59=0

=0，
解得

x0= 13 2 y0=2

，∴D（

13

2

，2），B（10，5）
設(shè)A關(guān)于∠B平分線(xiàn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′（m，n），
則有

m+1 m-3 =-4 m+3 2 -4 n-1 2 +10=0

，解方程組可得A′（1，7），
∵A′在BC上，∴即BA′方程為2x+9y-65=0，
BC邊上高h(yuǎn)_BC=

|2×3+9×(-1)-65|

22+92

=

68

85

，
聯(lián)立方程

2x+9y-65=0 6x+10y-59=0

解得C(-

7

2

，8)，
∴|BC|=

3

2

85

，∴S△ABC=

1

2

|BC|•hBC=51

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)的一般式方程，涉及垂直關(guān)系和三角形的面積公式，屬中檔題．