已知a∈R,函數(shù)f(x)=x2|x-a|.

(1)當(dāng)a=2時,求使f(x)=x成立的x的集合;

(2)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值.

解:(1)由題意,f(x)=x2|x-2|.

    當(dāng)x<2時,f(x)=x2(2-x)=x,解得x=0或x=1;

    當(dāng)x≥2時,f(x)=x2(x-2)=x,解得x=1+.

    綜上,所求解集為{0,1,1+}.

(2)設(shè)此最小值為m.

①當(dāng)1<a≤1時,在區(qū)間[1,2]上,f(x)=x3-ax2.

    因為f′(x)=3x2-2ax=3x(x-a)>0,x∈(1,2),

    則f(x)是區(qū)間[1,2]上的增函數(shù),所以m=f(1)=1-a.

②當(dāng)1<a≤2時,在區(qū)間[1,2]上,f(x)=x2|x-a|≥0,由f(a)=0知m=f(a)=0.

③當(dāng)a>2時,在區(qū)間[1,2]上,f(x)=ax2-x3.f′(x)=2ax-3x2=3x(a-x).

    若a≥3,在區(qū)間(1,2)內(nèi)f′(x)>0,從而f(x)為區(qū)間[1,2]上的增函數(shù),由此得m=f(1)=a-1.

    若2<a<3,則1<a<2.

    當(dāng)1<x<a時,f′(x)>0,從而f(x)為區(qū)間[1,a]上的增函數(shù);

    當(dāng)a<x<2時,f′(x)<0,從而f(x)為區(qū)間[a,2]上的減函數(shù).

    因此,當(dāng)2<a<3時,m=f(1)=a-1或m=f(2)=4(a-2).

    當(dāng)2<a≤時,4(a-2)≤a-1,故m=4(a-2);

    當(dāng)<a<3時,a-1<4(a-2),故m=a-1.

    綜上所述,所求函數(shù)的最小值m=


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