Question

如圖，在底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中，∠DAB=90°，PA⊥平面 ABCD，PA=AB=BC=1，AD=2，M為PD中點(diǎn)．
（ I ） 求證：MC∥平面PAB；
（Ⅱ）在棱PD上找一點(diǎn)Q，使二面角Q-AC-D的正切值為

2

2

．

Answer 1

分析：（1）欲證MC∥平面PAB，根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理可知只需在平面PAB中找一直線(xiàn)與MC平行即可，取PA的中點(diǎn)E，連接BE、EM，根據(jù)EM與BC平行且相等，則MC∥BE，又MC?面PAB，BE⊆面PAB，滿(mǎn)足定理所需條件；
（2）過(guò)Q作QF∥PA交AD于F，作FH⊥AC，H為垂足．連接QH則∠QHF是二面角Q-AC-D的平面角，然后根據(jù)二面角Q-AC-D的正切值為

2

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建立等式關(guān)系，解之即可求Q在棱PD上的位置．

解答：解：（1）取PA的中點(diǎn)E，連接BE、EM，則EM與BC平行且相等，∴四邊形BCME是平行四邊形．∴MC∥BE，
又MC?面PAB，BE⊆面PAB，∴MC∥平面PAB…（6分）
（2）如圖過(guò)Q作QF∥PA交AD于F，
∴QF⊥平面ABCD．作FH⊥AC，H為垂足．連接QH∴∠QHF是二面角Q-AC-D的平面角．
設(shè)AF=x，∴AH=FH=

2

2

x，F(xiàn)D=2-x．又

QF

PA

=

FD

AD

，∴QF=

2-x

2

，
在Rt△QFH中，tan∠QHF=

QF

FH

=

2-x 2

2 x 2

=

2

2

，∴x=1．
當(dāng)Q為棱PD中點(diǎn)時(shí)，二面角Q-AC-D的正切值為

2

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線(xiàn)面平行的判定，以及二面角的度量，同時(shí)考查了空間想象能力和論證推理的能力，屬于中檔題．