Question

4．已知三棱柱ADE-BCF如圖所示，其中M，N分別是AF，BC的中點(diǎn)，且平面ABCD⊥底面ABEF，AB=AD=AE=BF=BC=2．
（1）求證：MN∥平面CDEF；
（2）求多面體A-CDEF的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可．
（2）根據(jù)錐體的體積公式先求出錐體的底面積和高即可．

解答 （1）證明：由AB=BC=BF=2，DE=CF=2$\sqrt{2}$，∠CBF=$\frac{π}{2}$．
取BF的中點(diǎn)G，連接MG，NG，
由M，N分別為AF，BC的中點(diǎn)可得，
NG∥CF，MG∥EF，且NG∩MG=G，CF∩EF=F，
∴平面MNG∥平面CDEF，
又MN?平面MNG，
∴MN∥平面CDEF．-------------------------（6分）

（2）取DE的中點(diǎn)H．∵AD=AE，∴AH⊥DE，
在直三棱柱ADE-BCF中，平面ADE⊥平面CDEF，平面ADE∩平面CDEF=DE．
∴AH⊥平面CDEF．
∴多面體A-CDEF是以AH為高，以矩形CDEF為底面的棱錐，在△ADE中，AH=$\sqrt{2}$．
S_矩形CDEF=DE•EF=4$\sqrt{2}$，
∴棱錐A-CDEF的體積為V=$\frac{1}{3}$•S_矩形CDEF•AH=$\frac{1}{3}$×4$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=$\frac{8}{3}$．----（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間直線和平面平行的判定以及空間錐體的體積的計(jì)算，根據(jù)相應(yīng)的判定定理和體積公式是解決本題的關(guān)鍵．