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4.已知圓C的圓心在直線y=-4x上,且與直線x+y-1=0相切于點(diǎn)P(3,-2).
(Ⅰ)求圓C方程;
(Ⅱ)是否存在過點(diǎn)N(1,0)的直線l與圓C交于E、F兩點(diǎn),且△OEF的面積是22(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).若存在,求出直線l的方程,若不存在,請(qǐng)說明理由.

分析 (Ⅰ)過切點(diǎn)P(3,2)且與x+y-1=0垂直的直線為y=x-5,與直線y=-4x聯(lián)立,解得圓心為(1,-4),由此能求出圓的方程.
(Ⅱ)當(dāng)斜率不存在時(shí),直線l方程為x=1,滿足題意;當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為 y=k(x-1),由點(diǎn)到直線距離公式結(jié)合已知條件推導(dǎo)出不存在這樣的實(shí)數(shù)k.從而所求的直線方程為x=1.

解答 解:(Ⅰ)過切點(diǎn)P(3,2)且與x+y-1=0垂直的直線為y+2=x-3,即y=x-5.(1分)
與直線y=-4x聯(lián)立,解得x=1,y=-4,
∴圓心為(1,-4),…(2分)
∴半徑r=312+2+42=22,
∴所求圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8.…(4分)
(Ⅱ)①當(dāng)斜率不存在時(shí),此時(shí)直線l方程為x=1,
原點(diǎn)到直線的距離為d=1,
同時(shí)令x=1代入圓方程得y=-4±22,∴|EF|=42,
∴S△OEF=12×1×42=22滿足題意,
此時(shí)方程為x=1.…(8分)
②當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),
圓心C(1,-4)到直線l的距離d=4k2+1,…(9分)
設(shè)EF的中點(diǎn)為D,連接CD,則必有CD⊥EF,
在Rt△CDE中,DE=8dhzdh3x2=22k21k2+1,
∴EF=42k21k2+1,原點(diǎn)到直線l的距離=|k|k2+1,…(10分)
∴S△OEF=1242k21k2+1|k|k2+1=22,…(12分)
整理,得3k2+1=0,不存在這樣的實(shí)數(shù)k.
綜上所述,所求的直線方程為x=1.…(14分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程的求法,考查直線方程存在性的討論及其求法,具有一定的探索性,對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求較高,解題時(shí)要注意分類討論思想的合理運(yùn)用.

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