Question

已知函數(shù)f（x）=sinx-cosx，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）在[0，2π]內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在x=x₀處取到最大值，求f（x₀）+f（2x₀）+f（3x₀）的值；
（3）若g（x）=e^x（x∈r），求證：方程f（x）=g（x）在[0，+∞）內(nèi)沒有實數(shù)解．
（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.69，π≈3.14）

Answer 1

解：（1）f（x）=sinx-cosx=，
令
則，（2分）
由于X∈[0，2π]，則f（x）在[0，2π]內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）依題意，，（6分）
由周期性，f（x₀）+f（2x₀）+f（3x₀）
=；（8分）
（3）函數(shù)g（x）=e^x（x∈R）為單調(diào)增函數(shù)，
且當時，f（x）≤0，g（x）=e^x＞0，此時有f（x）＜g（x）；（10分）
當時，由于≈0.785，而≈0.345，
則有，即，
又Qg（x）為增函數(shù)，∴當時，（12分）
而函數(shù)f（x）的最大值為，即，
則當時，恒有f（x）＜g（x），
綜上，在[0，+∞）恒有f（x）＜g（x），
即方程f（x）=g（x在[0，+∞）內(nèi)沒有實數(shù)解．（14分）
分析：（1）在f（x）中提出湊出兩角和的正弦公式，利用兩角差的正弦公式化簡f（x）；令整體角在正弦的遞增區(qū)間上，求出x的范圍即為遞增區(qū)間．
（2）通過整體角處理的方法，令整體角等于求出角x₀，代入求出f（x₀）+f（2x₀）+f（3x₀）的值．
（3）通過分段討論求出兩個函數(shù)的最值，判斷出兩個函數(shù)的交點情況，得到方程解的情況．
點評：本題考查兩個角的和差的正弦公式、考查整體角處理的思想方法、考查方程解的情況轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點的情況．