Question

已知圓經(jīng)過點A（2，-3）和B（-2，-5），
（1）若圓心在直線x-2y-3=0上，求圓的方程；
（2）若圓的面積最小，求圓的方程．

Answer 1

考點：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)點A和點B的坐標(biāo)，求出直線AB的斜率，進而根據(jù)兩直線垂直時斜率乘積為-1，求出線段AB中垂線的斜率，然后再利用中點坐標(biāo)公式求出線段AB的中點坐標(biāo)，根據(jù)求出的斜率和中點坐標(biāo)寫出線段AB中垂線的直線方程，與直線x-2y-3=0聯(lián)立即可求出交點的坐標(biāo)即為圓心的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點間的距離公式求出圓心到點A的距離即為圓的半徑，根據(jù)圓心坐標(biāo)與半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
（2）要使圓的面積最小，線段AB為圓的直徑，根據(jù)（1）中求出的線段AB的中點坐標(biāo)即為所求圓的圓心，利用兩點間的距離公式求出線段AB長度的一半即為圓的半徑，根據(jù)求出的圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．

解答： 解：（1）因為k_AB=

1

2

，AB中點為（0，-4），所以AB中垂線方程為y+4=-2x，即2x+y+4=0，
解方程組

2x+y+4=0 x-2y-3=0

得

x=-1 y=-2.

所以圓心為（-1，-2），
根據(jù)兩點間的距離公式，得半徑r=

10

，
因此，所求的圓的方程為（x+1）²+（y+2）²=10；

（2）要使圓的面積最小，則AB為圓的直徑，
由（1）得AB的中點坐標(biāo)即所求圓心坐標(biāo)為（0，-4），
而|AB|=

[2-(-2)]2+ [-3-(-5)]2

=2

5

，所以圓的半徑r=

5

，
則所求圓的方程為：x²+（y+4）²=5．

點評：此題考查學(xué)生掌握兩直線垂直時斜率滿足的關(guān)系，靈活運用中點坐標(biāo)公式及兩點間的距離公式化簡求值，是一道中檔題．