Question

如圖，在多面體ABCD-EF中，四邊形ABCD為正方形，EF∥AB，EF⊥EA，AB=2EF，∠AED=90°，AE=ED，H為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EH∥平面FAC；
（Ⅱ）求證：EH⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求二面角A-FC-B的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明線面平行，只需證明EH平行于平面FAC中的一條直線，設(shè)AC∩BD=O，連接HO，F(xiàn)O，證明EH∥FO即可；
（Ⅱ）證明線面垂直，只需證明EH垂直于平面ABCD內(nèi)的兩條相交直線，利用證明AB⊥平面AED，即可證得；
（Ⅲ）根據(jù)AC，BD，OF兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BCF的法向量、平面AFC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角A-FC-B的大�。�

解答：（Ⅰ）證明：AC∩BD=O，連接HO，F(xiàn)O
因?yàn)锳BCD為正方形，所以O(shè)是AC中點(diǎn)，
又H是AD中點(diǎn)，
所以OH∥CD ， OH=

1

2

CD，EF∥AB ， EF=

1

2

AB，
所以EF∥OH且EF=OH，
所以四邊形EHOF為平行四邊形，
所以EH∥FO，
又因?yàn)镕O?平面FAC，EH?平面FAC．
所以EH∥平面FAC．…（4分）
（Ⅱ）證明：因?yàn)锳E=ED，H是AD的中點(diǎn)，所以EH⊥AD…（6分）
又因?yàn)锳B∥EF，EF⊥EA，所以AB⊥EA
又因?yàn)锳B⊥AD，所以AB⊥平面AED，
因?yàn)镋H?平面AED，所以AB⊥EH，…（8分）
所以EH⊥平面ABCD．…（9分）
（Ⅲ）解：AC，BD，OF兩兩垂直，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)EF=1，則AB=2，B(0，

2

，0)，C(-

2

，0，0)，F(xiàn)（0，0，1）…（10分）
設(shè)平面BCF的法向量為

n1

=(x，y，z)，

BC

=(-

2

，-

2

，0)，  

CF

=(

2

，0，1)，

n1

•

BC

=0，

n1

•

CF

=0
所以 

n1

=(-1，1，

2

)…（11分）
平面AFC的法向量為

n2

=(0，1，0)…（12分）cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1

2

．                       …（13分）
二面角A-FC-B為銳角，所以二面角A-FC-B等于

π

3

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行、線面垂直，考查面面角，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用線面平行與垂直的判定，掌握求平面法向量的方法．