Question

已知橢圓

x2

9

+

y2

b2

=1（0＜b＜3）與雙曲線x²-

y2

3

=1有相同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，P是兩曲線位于第一象限的一個(gè)交點(diǎn)，則cos∠F₁PF₂=

1

4

．

Answer 1

分析：根據(jù)由橢圓、雙曲線的定義，可得|PF₁|+|PF₂|=6且|PF₁|-|PF₂|=2，兩式平方整理得|PF₁|²+|PF₂|²=20，|PF₁|•|PF₂|=8．最后在△F₁PF₂利用余弦定理，即可算出cos∠F₁PF₂的值．

解答：解：∵雙曲線x²-

y2

3

=1中，c=

1+3

=2，
雙曲線與橢圓有公共的焦點(diǎn)
∴橢圓

x2

9

+

y2

b2

=1（0＜b＜3）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±2，0）
可得

9-b2

=2，得b=

5

∵由橢圓、雙曲線的定義，可得
|PF₁|+|PF₂|=6且|PF₁|-|PF₂|=2
∴兩式平方整理得
|PF₁|²+|PF₂|²=20，|PF₁|•|PF₂|=8
△F₁PF₂由余弦定理，得
cos∠F₁PF₂=

|PF 1|2+•|PF 2|2-|F1F2|2

2|PF 1|•|PF 2|

=

20-16

2×8

=

1

4

故答案為：

1

4

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了橢圓、雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，利用余弦定理解三角形等知識(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合思想和計(jì)算能力，屬于中檔題．