Question

13．已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和是S_n，且a_n=3（1-S_n）（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₂（1-S_n+1）（n∈N^*），記數(shù)列{$\frac{1}{{_{n}b}_{n+1}}$}前n項(xiàng)和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）由（1）可得：1-S_n+1=$\frac{1}{3}{a}_{n+1}$=2^-2n-2．可得b_n=-2n-2．于是$\frac{1}{{_{n}b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（-2n-2）（-2n-4）}$=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$．利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（1）∵a_n=3（1-S_n）（n∈N^*），∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3（1-a₁），解得a₁=$\frac{3}{4}$．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-1=3（1-S_n-1），∴a_n-a_n-1=-3a_n，化為a_n=$\frac{1}{4}{a}_{n-1}$．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{3}{4}$，公比為$\frac{1}{4}$．
∴a_n=$\frac{3}{4}$×$（\frac{1}{4}）^{n-1}$=$3×\frac{1}{{4}^{n}}$．
（2）由（1）可得：1-S_n+1=$\frac{1}{3}{a}_{n+1}$=$\frac{1}{3}×3×\frac{1}{{4}^{n+1}}$=2^-2n-2．
∴b_n=log₂（1-S_n+1）=-2n-2．
∴$\frac{1}{{_{n}b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（-2n-2）（-2n-4）}$=$\frac{1}{4（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{{_{n}b}_{n+1}}$}前n項(xiàng)和為T_n=$\frac{1}{4}[（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{4}（\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{n}{8（n+2）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．