Question

已知函數f（x）=（x³+3x²+ax+b）e^-x．
（1）如a=b=-3，求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若f（x）在（-∞，α），（2，β）單調增加，在（α，2），（β，+∞）單調減少，證明：β-α＞6．

Answer 1

分析：（1）對函數f（x）求導，里用導函數求解單調區(qū)間；
（2）利用導函數的性質即函數的單調區(qū)間加以證明．

解答：解：（Ⅰ）當a=b=-3時，f（x）=（x³+3x²-3x-3）e^-x，
故f′（x）=-（x³+3x²-3x-3）e^-x+（3x²+6x-3）e^-x=-e^-x（x^-3-9x）=-x（x-3）（x+3）e^-x
當x＜-3或0＜x＜3時，f′（x）＞0；
當-3＜x＜0或x＞3時，f′（x）＜0．
從而f（x）在（-∞，-3），（0，3）單調增加，在（-3，0），（3，+∞）單調減少；
（Ⅱ）f′（x）=-（x³+3x²+ax+b）e^-x+（3x²+6x+a）e^-x=-e^-x[x³+（a-6）x+b-a]．
由條件得：f′（2）=0，即2³+2（a-6）+b-a=0，故b=4-a，
從而f′（x）=-e^-x[x³+（a-6）x+4-2a]．
因為f′（α）=f′（β）=0，
所以x³+（a-6）x+4-2a=（x-2）（x-α）（x-β）=（x-2）（x²-（α+β）x+αβ）．
將右邊展開，與左邊比較系數得，α+β=-2，αβ=a-2．
故β-α=

(β+α)2-4αβ

=

12-4a

．，
又（β-2）（α-2）＜0，即αβ-2（α+β）+4＜0．由此可得a＜-6．
于是β-α＞6．

點評：本題主要考查了離用導函數求解單調區(qū)間的問題，要求同學們掌握好導函數與函數的關系，以及導函數的性質．