已知函數(shù)f（x）=，若f（x）滿足f（-x）=-f（x）．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）證明f（x）是R上的增函數(shù)；
（3）求函數(shù)f（x）的值域．
【答案】分析：（1）利用f（0）=0．求出實(shí)數(shù)a的值，得出，
（2）直接利用函數(shù)單調(diào)性的證明步驟進(jìn)行證明
（3）采用分子變常數(shù)法得出=，再利用反比例函數(shù)性質(zhì)求解．
解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，又f（x）滿足f（-x）=-f（x），
所以f（-0）=-f（0），即f（0）=0．所以=0，解得a=1，…（3分）
此時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)f（x），滿足題意，故a=1           …（4分）
（2）設(shè)x1＜x2，
則
∵x1＜x2，
∴，
∴
∴f（ x2）-f（ x1）＞0
f（ x2）＞f（ x1）
所以f（x）在定義域R上為增函數(shù)．…（8分）
（3）=，…（11分）
因?yàn)?x+1＞1，，所以即f（x）的值域?yàn)椋?1，1）．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式求解、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判定．考查轉(zhuǎn)化、計(jì)算、論證能力．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對(duì)稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時(shí)f（x）的表達(dá)式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實(shí)數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實(shí)數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2010的值為（　�。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對(duì)于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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