Question

14．如圖所示，在四面體ABCD中，AD=1，CD=3，AC=2$\sqrt{3}$，cosB=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（1）求△ACD的面積；
（2）若BC=2$\sqrt{3}$，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）由題意和余弦定理求出cosD的值，由平方關系和內角的范圍求出sinD，代入三角形的面積公式求解；
（2）由AC=BC=2得∠BAC=B，由內角和定理求出∠ACB=π-2B，由正弦定理列出方程后，利用誘導公式和二倍角正弦公式化簡后，即可求出AB的值．

解答 解：（1）因為AD=1，CD=3，AC=2$\sqrt{3}$，
所以由余弦定理得，cosD=$\frac{A{D}^{2}+D{C}^{2}-A{C}^{2}}{2•AD•DC}$=$\frac{1+9-12}{2×1×3}$=$-\frac{1}{3}$，
因為D∈（0，π）所以sinD=$\sqrt{1-co{s}^{2}D}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
又AD=1，CD=3，
所以△ACD的面積S=$\frac{1}{2}×1×3×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\sqrt{2}$…（6分）
（2）∵AC=BC=2$\sqrt{3}$，
∴∠BAC=B，則∠ACB=π-2B，
由正弦定理得，$\frac{AB}{sin∠ACB}=\frac{AC}{sinB}$，
則$\frac{AB}{sin2B}=\frac{AC}{sinB}$，即$\frac{AB}{2sinBcosB}=\frac{AC}{sinB}$，
又cosB=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，所以AB=AC•cosB=2×$2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=4．…（12分）

點評 本題考查了正弦定理、余弦定理，誘導公式和二倍角正弦公式等，以及三角形的面積公式的應用，考查化簡、計算能力．