Question

在數(shù)列{a_n} 中，a₁=0，a_n+1=-a_n+3ⁿ，其中n=1，2，3…．
（I）求數(shù)列{a_n}  的通項公式；
（II）求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）因為從數(shù)列{a_n}的遞推公式 中，不容易找到規(guī)律，可考慮用構(gòu)造法構(gòu)造新函數(shù)，觀察可得，a_n+1-=-（a_n-），所以）數(shù)列{a_n-}為等比數(shù)列，先求出它的通項公式，繼而求數(shù)列{a_n}  的通項公式．
（II）由（I）得到的數(shù)列{a_n}  的通項公式，可以代入，化簡，再根據(jù)單調(diào)性求極值．
解答：解：（I）由a₁=0，且a_n+1=-a_n+3ⁿ（n=1，2，3，…）
得a₂=-a₁+3=3，a₃=-a₂+3²=6．       
（由a_n+1=-a_n+3ⁿ，變形得a_n+1-=-（a_n-），∴{a_n-}
是首項為a₁-=-公比為-1的等比數(shù)列
∴an-=-（-1）^n-1∴an=（n=1，2，3…）     
（II）①當(dāng)n是偶數(shù)時，===+，
∴隨n增大而減少，∴當(dāng)n為偶數(shù)時，最大值是．            
②當(dāng)n是奇數(shù)時，===
∴隨n增大而增大且=＜＜
綜上最大值為．
點評：本題考查了構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式，以及利用數(shù)列單調(diào)性求最值，做題時應(yīng)認(rèn)真分析．