已知函數(shù)(b為常數(shù)).
(1)函數(shù)f(x)的圖像在點(1,f(1))處的切線與g(x)的圖像相切,求實數(shù)b的值;
(2)設h(x)=f(x)+g(x),若函數(shù)h(x)在定義域上存在單調(diào)減區(qū)間,求實數(shù)b 的取值范圍;
(3)若b>1,對于區(qū)間[1,2]上的任意兩個不相等的實數(shù)x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|> |g(x1)-g(x2)|成立,求b的取值范圍.
(1)(2)(3)
【解析】
試題分析:1)由f(x)求出其導函數(shù),把切點的橫坐標代入導函數(shù)中即可表示出切線的斜率,根據(jù)切點坐標和切線過原點寫出切線方程,再和g(x)聯(lián)立,利用根的判別求解即可.(2)通過求h′(x),結合函數(shù)h(x)在定義域上存在單調(diào)減區(qū)間,轉化為存在性問題求b的取值范圍.(3)要使得對于區(qū)間[1,2]上的任意兩個不相等的實數(shù)x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|成立,利用導數(shù)的幾何是切線的斜率,得到對于區(qū)間[1,2]上的任意實數(shù)x,|f′(x)|>|g′(x)|,列出b的不等關系,從而得出b的取值范圍.解:(1)f(x)=lnx得f′(x)=,函數(shù)f(x)的圖象在點(1,f(1))處的切線的斜率為f′(1)=1,切線方程為:y-0=x-1即y=x-1.
由已知得它與g(x)的圖象相切,將y=x-1代入得x-1=x2-bx,即x2-(b+1)x+1=0,∴△=(b+1)2-2=0,解得b=±-1,即實數(shù)b的值為±-1.(2)h(x)=f(x)+g(x)=lnx+x2-bx,∴h′(x)=+x-b,根據(jù)函數(shù)h(x)在定義域(0,+∞)上存在單調(diào)減區(qū)間,∴存在x>0,使得+x-b<0,即b>+x,由于當x>0時, +x≥2,∴b>2.∴實數(shù)b 的取值范圍(2,+∞).
(3)對于區(qū)間[1,2]上的任意實數(shù)x,f′(x)=∈[,1]. g′(x)=x-b∈[1-b,2-b],要使得對于區(qū)間[1,2]上的任意兩個不相等的實數(shù)x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|成立,若用注意到f(x)是增函數(shù),不妨設x1>x2,則f(x1)>f(x2),問題轉化為|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|等價于-f(x1)+f(x2)<g(x1)-g(x2)<f(x1)-f(x2)從而f(x1)-g(x1)>f(x2)-g(x2)且f(x1)+g(x1)>f(x2)+g(x2),即f(x)-g(x)與f(x)+g(x)都是增函數(shù),利用導數(shù)的幾何是切線的斜率,得到|f′(x)|>|g′(x)|,即>|b-x|,于是x-≤b≤x+即(x-)max≤b≤(x+)min,∴≤b≤2.則b的取值范圍[(1);
(2)b的取值范圍為
考點:函數(shù)單調(diào)性
點評:對于已知函數(shù)單調(diào)性,求參數(shù)范圍問題的常見解法;設函數(shù)f(x)在(a,b)上可導,若f(x)在(a,b)上是增函數(shù),則可得f′(x)≥0,從而建立了關于待求參數(shù)的不等式,同理,若f(x)在(a,b)上是減函數(shù),,則可得f′(x)≤0.
科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年四川省綿陽市高三第二次月考文科數(shù)學試卷 題型:解答題
已知函數(shù),a,b為常數(shù),
(1) 若曲線%在點(2, 0)處有相同的切線,求a,b的值;
(2) 當且時,函數(shù)在上有最小值,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年廣東省深圳市南山區(qū)高三(上)期末數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源:2008年上海市奉賢區(qū)高考數(shù)學二模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源:2008-2009學年廣東省深圳外國語學校高三第二次質(zhì)量檢測數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題
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