Question

某同學(xué)用《幾何畫板》研究拋物線的性質(zhì)：打開《幾何畫板》軟件，繪制某拋物線，在拋物線上任意畫一個(gè)點(diǎn)，度量點(diǎn)的坐標(biāo)，如圖．

（Ⅰ）拖動(dòng)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，，試求拋物線的方程；

（Ⅱ）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，構(gòu)造直線交拋物線于不同兩點(diǎn)、，構(gòu)造直線、分別交準(zhǔn)線于、兩點(diǎn)，構(gòu)造直線、．經(jīng)觀察得：沿著拋物線，無論怎樣拖動(dòng)點(diǎn)，恒有.請(qǐng)你證明這一結(jié)論．

（Ⅲ）為進(jìn)一步研究該拋物線的性質(zhì)，某同學(xué)進(jìn)行了下面的嘗試：在（Ⅱ）中，把“焦點(diǎn)”改變?yōu)槠渌�“定點(diǎn)”，其余條件不變，發(fā)現(xiàn)“與不再平行”．是否可以適當(dāng)更改（Ⅱ）中的其它條件，使得仍有“”成立？如果可以，請(qǐng)寫出相應(yīng)的正確命題；否則，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）設(shè)出直線方程，點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立方程組證明，所以

（Ⅲ）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，定點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，直線、分別交直線于、兩點(diǎn)，則

【解析】

試題分析：解法一：（Ⅰ）把，代入，得，          2分

所以，                                                                3分

因此，拋物線的方程．                                              4分

（Ⅱ）因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)為，設(shè)，

依題意可設(shè)直線，

由得，則 ①                      6分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013052108182765725869/SYS201305210819030947849550_DA.files/image030.png">，，所以，，

所以，，                         7分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013052108182765725869/SYS201305210819030947849550_DA.files/image036.png">                                   8分

，  ②

把①代入②，得，                                   10分

即，

所以，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013052108182765725869/SYS201305210819030947849550_DA.files/image017.png">、、、四點(diǎn)不共線，所以．                        11分

（Ⅲ）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，定點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，直線、分別交直線于、兩點(diǎn)，則 ．                                                             14分

解法二：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)為，設(shè)，                5分

依題意,可設(shè)直線，

由得，

則

所以                                                         7分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013052108182765725869/SYS201305210819030947849550_DA.files/image048.png">，，

所以，，                                            10分

所以，，  

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013052108182765725869/SYS201305210819030947849550_DA.files/image017.png">、、、四點(diǎn)不共線，所以.                          11分

（Ⅲ）同解法一.                                                            14分

解法三：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)為，設(shè)，

依題意，設(shè)直線，

由得，則，                         6分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013052108182765725869/SYS201305210819030947849550_DA.files/image030.png">，，所以，，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013052108182765725869/SYS201305210819030947849550_DA.files/image055.png">，                9分

所以，所以平行于軸；

同理可證平行于軸；

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013052108182765725869/SYS201305210819030947849550_DA.files/image017.png">、、、四點(diǎn)不共線，所以.                         11分

（Ⅲ）同解法一.                                                           14分

考點(diǎn)：本小題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．

點(diǎn)評(píng)：圓錐曲線問題在高考中每年必考，且一般出在壓軸題的位置上，難度較低，主要考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想等。