Question

14．已知M為橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上一動點，過M作橢圓的切線為l，過橢圓的右焦點F₁作l的垂線，垂足為D，求D點的軌跡方程為x²+y²=25．

Answer 1

分析 當切線l的斜率存在且不為0時，設l的方程為y=kx+m，與橢圓方程聯立得（9+25k²）x²+50kmx+25m²-225=0，根據直線l和橢圓E有且僅有一個交點，可得△=0，25k²+9．由于直線MD與l垂直，可得直線MD的方程，與l聯立，消去m，k即可得出D點的軌跡方程．

解答 解：（i）當切線l的斜率存在且不為0時，設l的方程為y=kx+m①，
聯立直線與橢圓方程，消去y并整理，得（9+25k²）x²+50kmx+25m²-225=0，
∵直線l和橢圓E有且僅有一個交點，∴△=2500k²m²-4（9+25k²）（25m²-225）=0，
化簡并整理，得m²=25k²+9．
∵直線MD與l垂直，∴直線MD的方程為：y=-$\frac{1}{k}$（x-4）②，
聯立①②，解得x=$\frac{4-km}{1+{k}^{2}}$，y=$\frac{4k+m}{1+{k}^{2}}$，
∴x²+y²=（$\frac{4-km}{1+{k}^{2}}$）²+（$\frac{4k+m}{1+{k}^{2}}$）²=$\frac{{m}^{2}+16}{1+{k}^{2}}$=25．（*）
（ii）當切線l的斜率為0時，此時D（4，±3），符合（*）式．  
（iii）當切線l的斜率不存在時，此時D（±5，0），符合（*）式．
故答案為：x²+y²=25．

點評 本題主要考查軌跡方程、直線與橢圓相切的位置關系，考查學生運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數形結合、化歸與轉化思想，屬于中檔題．