Question

已知函數(shù)。
（I）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
（II）若對(duì)任意x∈［1，e］，使得g(x)≥－x²＋（a＋2）x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（III）設(shè)F（x）＝，曲線y＝F（x）上是否總存在兩點(diǎn)P，Q，使得△POQ是以O(shè)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為鈍角柄點(diǎn)的鈍角三角開，且最長(zhǎng)邊的中點(diǎn)在y軸上？請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵ 
∴當(dāng)、時(shí)，在區(qū)間、上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增.         ………3分
（Ⅱ）由，得．
∵，且等號(hào)不能同時(shí)取得，∴，
∵對(duì)任意，使得恒成立，
∴對(duì)恒成立，即．()
令，求導(dǎo)得，，     ………5分
∵，
∴在上為增函數(shù)，，．           ………7分
（Ⅲ）由條件，，
假設(shè)曲線上總存在兩點(diǎn)滿足：是以為鈍角頂點(diǎn)的鈍角三角形，且最長(zhǎng)邊的中點(diǎn)在軸上，則只能在軸兩側(cè).
不妨設(shè)，則．
∴， …（※），
是否存在兩點(diǎn)滿足條件就等價(jià)于不等式（※）在時(shí)是否有解．………9分
①    若時(shí)，，化簡(jiǎn)得，對(duì)此不等式恒成立，故總存在符合要求的兩點(diǎn)P、Q；                   ………11分
②    若時(shí)，（※）不等式化為，若,此不等式顯然對(duì)恒成立，故總存在符合要求的兩點(diǎn)P、Q；
若a>0時(shí)，有…（▲），
設(shè)，則，
顯然， 當(dāng)時(shí)，，即在上為增函數(shù)，
的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823210850403662.png" style="vertical-align:middle;" />，即，
當(dāng)時(shí)，不等式（▲）總有解．故對(duì)總存在符合要求的兩點(diǎn)P、Q.
………13分
綜上所述，曲線上總存在兩點(diǎn)，使得是以為鈍角頂點(diǎn)的鈍角三角形，且最長(zhǎng)邊的中點(diǎn)在軸上.                               ………14分

略