精英家教網(wǎng)如圖，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，x軸被曲線C2：y=x2-b截得的線段長(zhǎng)等于C1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)．
（Ⅰ）求C1，C2的方程；
（Ⅱ）設(shè)C2與y軸的交點(diǎn)為M，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C2相交于點(diǎn)A、B，直線MA，MB分別與C1相交于D，E．
（i）證明：MD⊥ME；
（ii）記△MAB，△MDE的面積分別是S1，S2．問：是否存在直線l，使得
S1
S2
=
17
32
？請(qǐng)說明理由．
分析：（Ⅰ）先利用離心率得到一個(gè)關(guān)于參數(shù)的方程，再利用x軸被曲線C2：y=x2-b截得的線段長(zhǎng)等于C1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)得另一個(gè)方程，兩個(gè)方程聯(lián)立即可求出參數(shù)進(jìn)而求出C1，C2的方程；
（Ⅱ）（i）把直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立可得關(guān)于點(diǎn)A、B坐標(biāo)的等量關(guān)系，再代入求出kMA•kMB=-1，即可證明：MD⊥ME；
（ii）先把直線MA的方程與拋物線方程聯(lián)立可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用弦長(zhǎng)公式求出|MA|，同樣的方法求出|MB|進(jìn)而求出S1，同理可求S2．再代入已知就可知道是否存在直線l滿足題中條件了．
解答：解：（Ⅰ）由題得e=
c
a
=
3
2
，從而a=2b，又2
b
=a，解得a=2，b=1，
故C1，C2的方程分別為
x2
4
+y2=1，y=x2-1．
（Ⅱ）（i）由題得，直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為y=kx，
由
y=kx
y=x2-1
得x2-kx-1=0．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1，x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，
于是x1+x2=k，x1x2=-1，又點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-1），
所以kMA•kMB=
y1+1
x1
•
y2+1
x2
=
(kx1+1)(kx2+1)
x1x2
=
k2x1x2+k(x1+x2)+1
x1x2
=
-k2+k2+1
-1
=-1．
故MA⊥MB，即MD⊥ME．
（ii）設(shè)直線MA的斜率為k1，則直線MA的方程為y=k1x-1．
由
y=k1x-1
y=x2-1
，解得
x=0
y=-1
或
x=k1
y=k12-1
．
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（k1，k12-1）．
又直線MB的斜率為-
1
k1
，同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-
1
k1
，
1
k12
-1）．
于是s1=
1
2
|MA|•|MB|=
1
2
1+k12
•|k1|•
1+
1
k12
•|-
1
k1
|=
1+k12
2|k1|
．
由
y=k1x-1
x2+4y2-4=0
得（1+4k12）x2-8k1x=0．
解得
x=0
y=-1
或，
x=
8k1
1+4k12
y=
4k12-1
1+4k12
，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（
8k1
1+4k12
，
4k12-1
1+4k12
）．
又直線ME的斜率為-
1
k1
．同理可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（
-8k1
4+k12
，
4-k12
4+k12
）．
于是s2=
1
2
|MD|•|ME|=
32(1+k12)•|k1|
(1+4k12)(k12+4)
．
故
s1
s2
=
1
64
(4k12+
4
k12
+17)=
17
32
，解得k12=4或k12=
1
4
．
又由點(diǎn)A，B的坐標(biāo)得，k=
k12-
1
k12
k1+
1
k1
=k1-
1
k1
．所以k=±
3
2
．
故滿足條件的直線存在，且有兩條，其方程為y=
3
2
x和y=-
3
2
x．
點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)橢圓與拋物線以及直線與拋物線和直線與橢圓的綜合問題的考查．是一道整理過程很麻煩的題，需要要認(rèn)真，細(xì)致的態(tài)度才能把題目作好．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，拋物線C1：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，橢圓C2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，C1與C2在第一象限的交點(diǎn)為P（
3
，
1
2
）
（1）求拋物線C1及橢圓C2的方程；
（2）已知直線l：y=kx+t（k≠0，t＞0）與橢圓C2交于不同兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)M滿足
AM
+
BM
=
0
，直線FM的斜率為k1，試證明k•k1＞
-1
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•楊浦區(qū)二模）如圖，橢圓C1：
x2
4
+y2=1，x軸被曲線C2：y=x2-b截得的線段長(zhǎng)等于C1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)．
（1）求實(shí)數(shù)b的值；
（2）設(shè)C2與y軸的交點(diǎn)為M，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C2相交于點(diǎn)A、B，直線MA、MB分別與C1相交與D、E．
①證明：MD•ME=0；
②記△MAB，△MDE的面積分別是S1，S2．若
S1
S2
=λ，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖過拋物線C1：x2=4y的對(duì)稱軸上一點(diǎn)P（0，m）（m＞0）作直線l與拋物線交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，以P，Q為焦點(diǎn)的橢圓為C2．
（1）求證：x1x2為定值；
（2）若l的方程為x-2y+4=0，且C1，C2以及直線l有公共點(diǎn)，求C2的方程；
（3）設(shè)
AP
=λ
PB
，若
QP
⊥(
QA
-μ
QB
)，求證：λ=μ

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）和圓C2：x2+y2=b2，已知圓C2將橢圓C1的長(zhǎng)軸三等分，橢圓C1右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為
2
4
，橢圓C1的下頂點(diǎn)為E，過坐標(biāo)原點(diǎn)O且與坐標(biāo)軸不重合的任意直線l與圓C2相交于點(diǎn)A、B．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）若直線EA、EB分別與橢圓C1相交于另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)P、M．
①求證：直線MP經(jīng)過一定點(diǎn)；
②試問：是否存在以（m，0）為圓心，
3
2
5
為半徑的圓G，使得直線PM和直線AB都與圓G相交？若存在，請(qǐng)求出所有m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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