Question

已知數(shù)列{a_n} 和{b_n} 的通項(xiàng)公式分別為a_n=3n+6，b_n=2n+7 （n∈N^*）．將集合{x|x=a_n，n∈N^*}∪{x|x=b_n，n∈N^*}中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列c₁，c₂，c₃，…，c_n，…
（1）求三個(gè)最小的數(shù)，使它們既是數(shù)列{a_n} 中的項(xiàng)，又是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)；
（2）數(shù)列c₁，c₂，c₃，…，c₄₀ 中有多少項(xiàng)不是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）求數(shù)列{c_n}的前4n 項(xiàng)和S_4n（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）分別由數(shù)列{a_n} 和{b_n} 的通項(xiàng)公式分別為a_n和b_n列舉出各項(xiàng)，即可找出既是數(shù)列{a_n} 中的項(xiàng)，又是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)的三個(gè)最小的數(shù)；
（2）根據(jù)題意列舉出數(shù)列{c_n}的40項(xiàng)，找出不是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)即可；
（3）表示出數(shù)列{b_n}中的第3k-2，3k-1及3k項(xiàng)，表示出數(shù)列{a_n} 中的第2k-1，及2k項(xiàng)，把各項(xiàng)按從小到大的順序排列，即可得到數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，并求出數(shù)列{c_n}的第4k-3，4k-2，4k-1及4k項(xiàng)的和，把數(shù)列{c_n}的前4n項(xiàng)和每四項(xiàng)結(jié)合，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式即可求出數(shù)列{c_n}的前4n項(xiàng)和S_4n．

解答：解：（1）因?yàn)閿?shù)列{a_n} 和{b_n} 的通項(xiàng)公式分別為a_n=3n+6，b_n=2n+7，
所以數(shù)列{a_n}的項(xiàng)為：9，12，15，18，21，24，…；數(shù)列{b_n} 的項(xiàng)為：9，11，13，15，17，19，21，23，…，
則既是數(shù)列{a_n} 中的項(xiàng)，又是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)的三個(gè)最小的數(shù)為：9，15，21；
（2）數(shù)列c₁，c₂，c₃，…，c₄₀的項(xiàng)分別為：
9，11，12，13，15，17，18，19，21，23，24，25，27，29，30，31，33，35，36，37，
39，41，42，43，45，47，48，49，51，53，54，55，57，59，60，61，63，65，66，67，
則不是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)有12，18，24，30，36，42，48，54，60，66共10項(xiàng)；
（3）b_3k-2=2（3k-2）+7=6k+3=a_2k-1，b_3k-1=6k+5，a_2k=6k+6，b_3k=6k+7，
∵6k+3＜6k+5＜6k+6＜6k+7，
∴c_n=

6k+3(n=4k-3) 6k+5(n=4k-2) 6k+6(n=4k-1) 6k+7(n=4k)

，k∈N⁺，c_4k-3+c_4k-2+c_4k-1+c_k=24k+21，
則S_4n=（c₁+c₂+c₃+c₄）+…+（c_4k-3+c_4k-2+c_4k-1+c_4k）=24×

n(n+1)

2

+21n=12n²+33n．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．