已知數(shù)列{an} 和{bn} 的通項(xiàng)公式分別為an=3n+6,bn=2n+7 (n∈N*).將集合{x|x=an,n∈N*}∪{x|x=bn,n∈N*}中的元素從小到大依次排列,構(gòu)成數(shù)列c1,c2,c3,…,cn,…
(1)求三個(gè)最小的數(shù),使它們既是數(shù)列{an} 中的項(xiàng),又是數(shù)列{bn}中的項(xiàng);
(2)數(shù)列c1,c2,c3,…,c40 中有多少項(xiàng)不是數(shù)列{bn}中的項(xiàng)?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)求數(shù)列{cn}的前4n 項(xiàng)和S4n(n∈N*).
分析:(1)分別由數(shù)列{an} 和{bn} 的通項(xiàng)公式分別為an和bn列舉出各項(xiàng),即可找出既是數(shù)列{an} 中的項(xiàng),又是數(shù)列{bn}中的項(xiàng)的三個(gè)最小的數(shù);
(2)根據(jù)題意列舉出數(shù)列{cn}的40項(xiàng),找出不是數(shù)列{bn}中的項(xiàng)即可;
(3)表示出數(shù)列{bn}中的第3k-2,3k-1及3k項(xiàng),表示出數(shù)列{an} 中的第2k-1,及2k項(xiàng),把各項(xiàng)按從小到大的順序排列,即可得到數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式,并求出數(shù)列{cn}的第4k-3,4k-2,4k-1及4k項(xiàng)的和,把數(shù)列{cn}的前4n項(xiàng)和每四項(xiàng)結(jié)合,利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式即可求出數(shù)列{cn}的前4n項(xiàng)和S4n.
解答:解:(1)因?yàn)閿?shù)列{a
n} 和{b
n} 的通項(xiàng)公式分別為a
n=3n+6,b
n=2n+7,
所以數(shù)列{a
n}的項(xiàng)為:9,12,15,18,21,24,…;數(shù)列{b
n} 的項(xiàng)為:9,11,13,15,17,19,21,23,…,
則既是數(shù)列{a
n} 中的項(xiàng),又是數(shù)列{b
n}中的項(xiàng)的三個(gè)最小的數(shù)為:9,15,21;
(2)數(shù)列c
1,c
2,c
3,…,c
40的項(xiàng)分別為:
9,11,12,13,15,17,18,19,21,23,24,25,27,29,30,31,33,35,36,37,
39,41,42,43,45,47,48,49,51,53,54,55,57,59,60,61,63,65,66,67,
則不是數(shù)列{b
n}中的項(xiàng)有12,18,24,30,36,42,48,54,60,66共10項(xiàng);
(3)b
3k-2=2(3k-2)+7=6k+3=a
2k-1,b
3k-1=6k+5,a
2k=6k+6,b
3k=6k+7,
∵6k+3<6k+5<6k+6<6k+7,
∴c
n=
| 6k+3(n=4k-3) | 6k+5(n=4k-2) | 6k+6(n=4k-1) | 6k+7(n=4k) | |
| |
,k∈N
+,c
4k-3+c
4k-2+c
4k-1+c
k=24k+21,
則S
4n=(c
1+c
2+c
3+c
4)+…+(c
4k-3+c
4k-2+c
4k-1+c
4k)=24×
+21n=12n
2+33n.
點(diǎn)評(píng):此題考查學(xué)生掌握等差數(shù)列的性質(zhì),靈活運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)求值,是一道中檔題.