Question

如圖，已知一四棱錐P－ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，且側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2，E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)

（1）求四棱錐P－ABCD的體積；

（2）證明：BD⊥AE。

（3）求二面角P-BD-C的正切值。

 

 

Answer 1

（1）；(2)見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)四棱錐P－ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PC⊥底面ABCD，知高為PC=2. 應(yīng)用體積計(jì)算公式即得；

(2)連結(jié)AC，根據(jù)ABCD是正方形，得到BD⊥AC ，由PC⊥底面ABCD 得到BD⊥PC，推出BD⊥平面PAC；由于不論點(diǎn)E在何位置，都有AE平面PAC，故得BD⊥AE；

（3）設(shè)相交于，連,可知是二面角P-BD-C的的一個(gè)平面角，計(jì)算其正切即得二面角P-BD-C的正切值.

試題解析：（1）該四棱錐P－ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，

側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC=2.

∴ 4分

(2)連結(jié)AC，∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面　∴BD⊥PC

又∵∴BD⊥平面PAC　

∵不論點(diǎn)E在何位置，都有AE平面PAC

∴BD⊥AE 8分

（3）設(shè)相交于，連,由四棱錐P－ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PC⊥底面ABCD知，是二面角P-BD-C的的一個(gè)平面角，,即二面角P-BD-C的正切值為.

考點(diǎn)：垂直關(guān)系，幾何體的體積，二面角的計(jì)算.